Quasi-isométries entre espaces métriques hyperboliques, aspects quantitatifs

Quasi-isometries between hyperbolic metric spaces, quantitative aspects

• Auteur / Autrice : Vladimir Shchur
• Direction : Pierre Pansu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/07/2013
• Etablissement(s) : Paris 11
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) - École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département de mathématiques et applications (1998-....) - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay - Département de Mathématiques et Applications
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre Pansu, Peter Haïssinsky, Urs Lang, Frédéric Paulin, Victor Chepoi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Peter Haïssinsky, Urs Lang

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cohomologie p-adique

Groupes hyperboliques

Espaces hyperboliques

Mots clés libres

Espaces hyperbolique

Quasi-isométrie

Quasi-géodésique

Lemme de Morse

Inégalité de Poincaré

Constante de Poincaré

Croissance de distorsion quasi-isométrique

Hyperbolic space

Quasi-isometrie

Quasi-geodesic

Morse Lemma

Poincaré inequality

Poincaré constant

Quasi-isometric distortion growth

Résumé

Dans cette thèse, nous considérons les chemins possibles pour donner une mesure quantitative du fait que deux espaces ne sont pas quasi-isométriques. De ce point de vue quantitatif, on reprend la définition de quasi-isométrie et on propose une notion de “croissance de distorsion quasi-isométrique” entre deux espaces métriques. Nous révisons notre article [32] où une borne supérieure optimale pour le lemme de Morse est donnée, avec la variante duale que nous appelons Anti-Morse Lemma, et leurs applications.Ensuite, nous nous concentrons sur des bornes inférieures sur la croissance de distorsion quasi-isométrique pour des espaces métriques hyperboliques. Dans cette classe, les espaces de L^p-cohomologie fournissent des invariants de quasi-isométrie utiles et les constantes de Poincaré des boules sont leur incarnation quantitative. Nous étudions comment les constantes de Poincaré sont transportées par quasi-isométries. Dans ce but, nous introduisons la notion de transnoyau. Nous calculons les constantes de Poincaré pour les métriques localement homogènes de la forme dt²+∑_{i}e^{2µ_{i}t}dx²_{i}, et donnons une borne inférieure sur la croissance de distorsion quasi-isométrique entre ces espaces.Cela nous permet de donner des exemples présentant différents type de croissance de distorsion quasi-isométrique, y compris un exemple sous-linéaire (logarithmique).

In this thesis we discuss possible ways to give quantitative measurement for two spaces not being quasi-isometric. From this quantitative point of view, we reconsider the definition of quasi-isometries and propose a notion of ``quasi-isometric distortion growth'' between two metric spaces. We revise our article [32] where an optimal upper-bound for Morse Lemma is given, together with the dual variant which we call Anti-Morse Lemma, and their applications.Next, we focus on lower bounds on quasi-isometric distortion growth for hyperbolic metric spaces. In this class, L^p-cohomology spaces provides useful quasi-isometry invariants and Poincaré constants of balls are their quantitative incarnation. We study how Poincaré constants are transported by quasi-isometries. For this, we introduce the notion of a cross-kernel. We calculate Poincaré constants for locally homogeneous metrics of the form dt²+∑_{i}e^{2µ_{i}t}dx²_{i}, and give a lower bound on quasi-isometric distortion growth among such spaces.This allows us to give examples of different quasi-isometric distortion growths, including a sublinear one (logarithmic).