Contribution à l'étude des lacets markoviens

Contribution to the study of Markov loops.

• Auteur / Autrice : Yinshan Chang
• Direction : Yves Le Jan
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 03/06/2013
• Etablissement(s) : Paris 11
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-François Le Gall
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yves Le Jan, Jean-François Le Gall, Christophe Sabot, Zhan Shi, Nathalie Eisenbaum
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christophe Sabot, Zhan Shi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Markov, Processus de

Mots clés libres

Lacets markoviens

Amas des lacets

L'arbre couvrant

Lacets couvrant

Markovian loops

Loop cluster

Spanning tree

Covering loop

Résumé

Nous nous intéressons aux lacets markoviens définis dans le cadre de la théorie des chaînes de Markov à temps continu sur un espace d'états discret. Ce sujet a notamment été étudié par Le Jan [LJ11] et Sznitman [Szn12]. En contraste avec ces références, nous ne supposerons pas la symétrie de la chaîne et nous intéresserons plutôt au cas infini. Tous les résultats sont présentés en termes de générateur de semi-groupe. En comparaison avec [LJ11], certaines preuves ont été détaillées ou améliorées.Nous fournissons par ailleurs quelques résultats sur les amas de boucles (voir [LJL12] dans le cas symétrique). Nous traitons notamment l'exemple du cercle discret. Nous étudions aussi les arbres couvrants définit par l'algorithme de Wilson dans le cas asymétrique.Dans la dernière partie, nous considérons la proportion des lacets couvrants l'espace. En utilisant la limite du spectre, nous donnons une expression générale de la limite de cette proportion pour une suite de graphes. Comme une application, nous donnons deux exemples concrets dans lesquels une transition de phase apparaît.

We are interested in Markov laces defined in the framework of the theory of Markov chains in continuous time on a discrete state space. This particular subject has been studied by Le Jan [LJ11] and Sznitman [Szn12]. In contrast to these references, we do not assume the reversibility of the chain and we are mostly interested in the case of countable state space. All the results are presented in terms of the generator of semigroup. In comparison with [LJ11], some demonstration has been detailed or improved.We also provide some results on the loop clusters (see [LJL12] in the reversible case). In particular, we study the example of discrete circle. We also study the spanning tree algorithm defined by Wilson in the non-symmetric case.In the last part, we consider the proportion of loops covering the whole space. Using the limit of the spectrums, we give a general expression for the limit of this ratio for a sequence of graphs. As an application, we give two examples in which a phase transition occurs.