Modèles d'échanges ioniques dans le rein : théorie, analyse asymptotique et applications numérique

par Magali Tournus

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Aurélie Edwards, Benoît Perthame et de Nicolas Seguin.

Soutenue en 2013

à Paris 6 .


  • Résumé

    Cette thèse de mathématiques appliquées traite de problèmes théoriques, numériques et asymptotiques en transport motivés par la physiologie rénale. Plus précisément, elle vise à comprendre et quantifier les échanges de solutés qui peuvent mener dans des cas pathologiques à des néphrocalcinoses, qui se caractérisent par des dépôts calciques dans les tubes rénaux. Le manuscrit est constitué de deux parties. La première partie concerne le développement et l'analyse mathématique d'un modèle simplifié du rein. Il s'agit d'un système de 3 EDP hyperboliques à vitesses constantes, couplées par leur terme source non linéaire et assorti de conditions aux bords spécifiques. Le modèle rentre dans le cadre des modèles cinétiques avec un nombre fini de vitesses et des conditions aux bords de type réflexion. Nous montrons que ce système est bien posé, qu'il tend en temps grand vers un état stationnaire. On montre que le taux de convergence est exponentiel avec des éléments spectraux. Nous proposons l'étude du rôle de deux paramètres à travers une analyse asymptotique. L'une d'entre elles nous place dans le cadre de la relaxation hyperbolique vers une loi de conservation scalaire avec un flux hétérogène en espace sur un domaine borné. La deuxième partie concerne le développement et l'analyse numérique d'un modèle réaliste du rein. Il s'agit d'un système de 27 EDP hyperboliques dont les vitesses sont les solutions de 8 EDO non linéaires, et toutes ces équations sont couplées par leur terme source. Les conditions aux bords sont là aussi spécifiques au modèle. Nous interprétons ensuite les résultats obtenus d'un point de vue physiologie, en proposant des prédictions de profils de concentration calciques dans le rein, dans le cas normal et dans certains cas pathologiques.

  • Titre traduit

    Models of ion exchange in the kidney : theory, asymptotic analysis and numerical applications


  • Résumé

    This thesis of applied mathematics deals with theoretical, numerical and asymptotic questions in transport, motivated by the renal physiology. To get into the details, the purpose is to understand and quantify the solutes exchanges in base case and pathological cases and to explain why nephrocalcinosis, i. E. Deposition of calcium salts in kidney tubules, arise. The manuscript is divided in two parts. The first part is made of the development and the mathematical analysis of a simplified kidney model. It is a system of 3 hyperbolic PDE's with constant velocities, coupled by a non-linear source term and with specific boundary conditions. This model can be considered in the framework of kinetic models with a finite number of velocities and reflexion boundary conditions. We prove that the system is well posed and relax to the unique stationary state for large time with an exponential rate of convergence. Thanks to a spectral analysis, we prove that the rate of convergence is exponential. We study the role of two parameters through an asymptotic analysis. One of these analysis is formulated in the framework of hyperbolic relaxation toward a scalar conservation law with an heterogeneous flux on a bounded domain. The second part is about the development and the numerical analysis of a realistic kidney model. It is an hyperbolic system of 27 hyperbolic PDEs whose velocities are solutions to 8 non linear ODEs, all coupled by their source term. The boundary conditions are also very specific. We interpret then the results from a physiological point of view, by predicting calcium concentration profiles in kidney, in base case and in some chosen pathological cases.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (172 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p.167-172.

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  • Bibliothèque : Sorbonne Université. Bibliothèque de Sorbonne Université. Bibliothèque Biologie-Chimie-Physique Recherche.
  • Accessible pour le PEB
  • Cote : T PARIS 6 2013 372
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