Problèmes de grandes déviations dans les systèmes dynamiques

Some problems of large deviations in dynamical systems

• Auteur / Autrice : Khanh-Dang Nguyen Thu Lam
• Direction : Jorge Kurchan
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Physique statistique

Systèmes dynamiques

Grandes déviations

Résumé

Cette thèse s'intéresse aux grandes déviations dans les systèmes dynamiques, par une approche à cheval sur les idées et méthodes issues de la physique statistique d'une part et celles issues de l'étude des systèmes dynamiques d'autre part. Nous développons dans une première partie l'idée que les grandes déviations dans les systèmes dynamiques chaotiques sont génériquement associées à des trajectoires ordonnées. Dans un premier temps, nous minimisons une observable dans une dynamique chaotique, la transformation du boulanger, et bien que les trajectoires sont pour la quasi-totalité d'entre elles apériodiques, nous trouvons que le minimum est typiquement atteint par une trajectoire périodique. Dans un deuxième temps, nous étudions un modèle d'énergie libre qui possède une phénoménologie de type vitreuse. Nous montrons que l'état de plus basse énergie n'est jamais amorphe. Dans une deuxième partie, nous considérons deux problèmes liés à l'utilisation de la méthode Lyapunov Weighted Dynamics utilisée pour échantillonner numériquement les grandes déviations de chaoticité d'un système dynamique. (i) Nous analysons les dynamiques hamiltoniennes intégrables perturbées par un bruit et montrons que le bruit a pour effet d'écarter exponentiellement dans le temps deux trajectoires initialement proches, sauf lorsque ces trajectoires sont isochrones. (ii) Nous analysons une dynamique de population de deux espèces en équilibre dynamique et soumises à un processus de sélection et montrons que la taille finie de la population rend possible l'extinction d'une des espèces.

In this thesis we are interested in large deviations in dynamical systems. We use ideas and methods both from the statistical physics field and the dynamical systems field. In a first part, we test the idea that large deviations in chaotic dynamical systems are typically associated to ordered trajectories. We first minimize a simple functionnal of the trajectories of the baker's map. Although most of the trajectories are aperiodic, we find that minimal trajectories are periodic. In a second model, we study a density free energy functionnal with a glassy phenomenology: first order transition between a liquid and a crystal and appereance of a huge number of metastable and amorphous states. The state of minimum free energy is nevers amorphous. In a second part, we consider two problems that arises when using the so-called Lyapunov Weigted Dynamics, used numerically to sample large deviations of chaoticity in a dynamical system. (i) We analyse hamiltonian dynamics perturbed stochastically and show that the presence of noise destabilize the system, unless the initial condition is taken in a isochronous part of the phase space. (ii) We study the dynamics of a population of two species in dynamical equilibrium when a selection process comes into play. The finite size of the population allows for the extinction of one of the species.