Régimes asymptotiques pour l'équation de Schrödinger non linéaire non locale

par Lounès Mouzaoui

Thèse de doctorat en Mathématiques et modélisation

Sous la direction de Rémi Carles.

Le président du jury était Gérard Michaille.

Le jury était composé de Rémi Carles, Gérard Michaille, François Castella, Mathieu Colin, Eric Dumas.

Les rapporteurs étaient François Castella, Mathieu Colin.


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques régimes asymptotiques de l'équation de Schrödinger semi-classique, en présence d'une non-linéarité non-locale de type Hartree. Elle comporte 3 parties, sous forme de 4 chapitres et une annexe. L'objet de la première partie, constituée du premier et deuxième chapitre, est l'étude du comportement asymptotique du modèle précédent pour un noyau singulier autour de l'origine, pour une condition initiale asymptotiquement de type WKB, en régime faiblement non-linéaire. Dans le premier chapitre nous montrons que sous certaines conditions de régularité sur la condition initiale, la solution est encore de type WKB à l'ordre principal, un résultat que nous obtenons dans le cadre fonctionnel de l'algèbre de Wiener. Nous donnons une preuve alternative au résultat précédent dans le cas particulier de l'équation de Schrödinger-Poisson dans le cadre fonctionnel d'espace de Sobolev rescalé, où la considération de correcteurs est nécessaire pour construire une solution approchée et pouvoir décrire la solution à l'ordre principal. La deuxième partie de cette thèse, objet du troisième chapitre, est consacrée à l'étude de la propagation de paquets d'onde pour un système couplé d'équations de Hartree en régime semi-classique, en présence de potentiels extérieurs sous-quadratiques. Nous décrivons analytiquement et numériquement le comportement asymptotique à l'ordre principal des fonctions d'onde solution du système, lorsqu'elles sont soumises à une condition initiale en forme de paquets d'onde, pour différentes tailles de non-linéarité. La dernière partie est constituée du quatrième chapitre et de l'annexe. Dans le quatrième chapitre nous considérons le problème de Cauchy de l'équation de Hartree avec noyau homogène ou dont la transformée de Fourier est dans un espace de Lebesgue, dans le cadre fonctionnel de l'algèbre de Wiener. Nous montrons quelques résultats sur le caractère bien posé du problème pour les noyaux considérés, dans des espaces faisant intervenir l'algèbre de Wiener. Nous concluons par une annexe dans laquelle nous considérons le problème de Cauchy de l'équation de Schrödinger-Poisson, en présence d'un potentiel extérieur indépendant du temps, dans les espaces de Sobolev pondérés. Nous étendons des résultats déjà obtenus sur l'existence de solutions globales dans les espaces de Sobolev sans poids lorsque le potentiel extérieur est nul, en montrant l'existence de solutions globales en temps dans les espaces de Sobolev pondérés pour toute régularité.

  • Titre traduit

    Asymptotic regimes for the nonlocal nonlinear Schrödinger equation


  • Résumé

    This thesis is devoted to the study of some asymptotic regimes of the semi-classical Schrödinger equation, in the presence of a nonlocal nonlinearity of Hartree-type . The purpose of the first part, consisting of the first and second chapter is the study of the asymptotic behavior of the previous model with a singular kernel around the origin for an initial data asymptotically of WKB-type, in a weakly nonlinear regime. In the first chapter we show that under some regularity conditions on the initial data, the solution still is of WKB-type at leading order, a result that we get in the functional framework of the Wiener algebra . We give an alternative proof to the previous result in the particular case of the Schrödinger-Poisson equation in the functional framework of rescaled Sobolev space, where the consideration of correctors is necessary to construct an approximate solution to describe the solution at leading order.The second part of this thesis, the subject of the third chapter is devoted to the study the propagation of wave packets for a coupled system of Hartree equations in a semi-classical regime , in the presence of sub-quadratic external potentials. We describe analytically and numerically the asymptotic behavior of the leading order of the wave functions solution of the system, for an initial data in the form of wave packets for different sizes of nonlinearity.The final part consists of the fourth chapter and appendix.In the fourth chapter we consider the Cauchy problem of the Hartree equation with a homogeneous kernel or of Fourier transform in a Lebesgue space, in the functional framework of the Wiener algebra. We show some results on the well-posedness of the problem for the considered kernels, in spaces involving the Wiener algebra.We conclude with an appendix in which we consider the Cauchy problem for the Schrödinger-Poisson equation in the presence of a time independent external potential in the weighted Sobolev spaces. We extend the results already obtained on the existence of global solutions in Sobolev spaces without weight when the external potential is reduced to zero, by showing the existence of global solutions in time in the weighted Sobolev spaces for all regularity.


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