Approximation polynômiale par projection L2 discrète aléatoire et application aux problèmes inverses pour les EDP à coefficients stochastiques

par Giovanni Migliorati

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Houssem Haddar.

Soutenue en 2013

à Palaiseau, Ecole polytechnique .

  • Titre traduit

    Approximation polynômiale par projection L2 discrète aléatoire et application aux problèmes inverses pour les EDP à coefficients stochastiques


  • Résumé

    Le sujet principal de cette thèse porte sur l'approximation polynômiale des fonctions aléatoires au moyen de la projection L2 aléatoire discrète, et son application aux problèmes inverses pour les équations aux dérivées partielles avec des données aléatoires. Les motivations proviennent de l'approximation paramétrique de la solution de modèles aux dérivées partielles. La thèse se compose de deux parties, avec un chapitre d'introduction qui résume les techniques modernes de l'approximation polynômiale des fonctions de variables aléatoires. La première partie, du chapitre 1 au chapitre 4, contient l'analyse théorique de la projection L2 aléatoire discrète pour résoudre le problème direct, par exemple, pour rapprocher les moments d'une fonction aléatoire à partir de ses observations, ou pour calculer la solution à un modèle numérique avec des coefficients stochastiques. La stabilité et l'optimalité de l'erreur d'approximation évaluée dans la norme L2 pondérée sont traités. Dans la dernière partie de la thèse, composé des chapitres 5 et 6, la méthodologie développée précédemment pour le problème direct est appliqué aux problèmes inverses pour les équations aux dérivées partielles à coefficients stochastiques. La méthode de factorisation est appliquée dans le cadre de la tomographie par impédance électrique, d'abord dans le cas de coefficient inhomogène, puis dans le cas de coefficient constante par morceaux, à valeurs dans chaque région affectée par l'incertitude. Enfin, dans le chapitre 6 les variantes de la méthode de factorisation proposées dans le chapitre précédent sont accélérés en utilisant les techniques qui ont été présentés dans la première partie de la thèse.


  • Résumé

    The main topic of this thesis concerns the polynomial approximation of aleatory functions by means of the random discrete L2 projection, and its application to inverse problems for Partial Differential Equations (PDEs) with stochastic data. The motivations come from the parametric approximation of the solution to partial differential models. The thesis is arranged in two parts, with an introductory chapter which contains an overview of modern techniques for polynomial approximation of functions depending on random variables. In the former part, from Chapter 1 to Chapter 4, the focus is on the theoretical analysis of the random discrete L2 projection applied to solve the so-called forward problem, e. G. To approximate the moments of an aleatory function given its observations, or to compute the solution to a computational model with stochastic coefficients given initial and boundary data. The stability and optimality of the approximation error evaluated in the L2 weighted norm are addressed. In the latter part of the thesis, composed of Chapter 5 and Chapter 6, the methodology previously developed for the forward problem is applied to inverse problems for PDEs with stochastic coefficients. The factorization method is applied in the framework of Electrical Impedance Tomography, first in the case of inhomogeneous background, and then in the case of piecewise constant background, with values in each region affected by uncertainty. Finally, in Chapter 6 the variants of the Factorization Method proposed in the previous chapter are accelerated exploiting the techniques that have been presented in the first part of the thesis.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (203 p.)
  • Annexes : Bibliographie : 140 réf.

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  • Cote : 2013EPXX0076
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