Convergence to equilibrium for discrete gradient-like flows and An accurate method for the motion of suspended particles in a Stokes fluid
Convergence vers l'équilibre pour des quasi-flots de gradient discrets et Une méthode précise pour le mouvement de particules en suspension dans un fluide de visqueux
Résumé
The thesis has two independent parts. The first part concerns the convergence toward equilibrium of discrete gradient flows or, with more generality, of some discretizations of autonomous systems which admit a Lyapunov function. The study is performed assuming sufficient conditions for the solutions of the continuous problem to converge toward a stationary state as time goes to infinity. It is shown that under mild hypotheses, the discrete system has the same property. This leads to new results on the large time asymptotic behavior of some known non-linear schemes. The second part concerns the numerical simulation of the motion of particles suspended in a viscous fluid. It is shown that the most widely used methods for computing the hydrodynamic interactions between particles lose their accuracy in the presence of large non-hydrodynamic forces and when at least two particles are close from each other. This case arises in the context of medical engineering for the design of nano-robots that can swim. This loss of accuracy is due to the singular character of the Stokes flow in areas of almost contact. A new method is introduced here. Numerical experiments are realized to illustrate its better accuracy.
La thèse comporte deux parties. La première traite de la convergence vers l'équilibre de flots de gradients discrets ou plus généralement de discrétisations d'un système autonome admettant une fonction de Lyapunov. En se plaçant dans une cadre pour lequel les olutions du problème continu converge vers un état stationnaire en temps grand, il est démontré sous des hypothèses générale que le système discret a la même propriété. Ce résultat conduit à des conclusions nouvelles sur le comportement en temps grand de schémas numériques anciens. La seconde partie concerne la simulation numérique de particules en suspension dans un fluide visqueux. Il est montré que les méthodes utilisées actuellement pour simuler l'interaction hydrodynamique entre particules perdent de leur précision quand de grandes forces non-hydrodynamiques sont en jeu et que au moins deux particules sont proches l'une de l'autre. Ce cas survient, dans le contexte de l'ingénierie biomédicale, lors de la conception de nano-robots capables de nager. Cette perte de précision est due au caractère singulier de l'écoulement de Stokes dans les zones de presque contact. Une nouvelle méthode est introduite ici. Des expérimentations numériques sont effectuées pour mettre en évidence sa grande précision.