Semi-anneau de fusion des groupes quantiques

par Colin Mrozinski

Thèse de doctorat en Mathématiques Pures

Sous la direction de Julien Bichon.

Soutenue le 05-12-2013

à Clermont-Ferrand 2 , dans le cadre de École doctorale des sciences fondamentales (Clermont-Ferrand) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques pures (Clermont-Ferrand) (équipe de recherche) .

Le président du jury était François Dumas.

Le jury était composé de Alain Bruguières, Teodor Banica, Saad Baaj, Christian Ohn.

Les rapporteurs étaient Alain Bruguières, Teodor Banica.


  • Résumé

    Cette thèse se propose d’étudier des problèmes de classification des groupes quantiques via des invariants issus de leur théorie de représentation. Plus précisément, nous classifions les algèbres de Hopf possédant un semi-anneau de fusion isomorphe à un groupe algébrique réductif donné G. De tels groupes quantiques sont alors appelés G-déformations. Dans cette thèse, nous étudions les cas GL(2) et SO(3). Nous donnons une classification complète des GL(2)-déformations en construisant une famille d’algèbres de Hopf indexées par des matrices inversibles. Nous décrivons leurs catégories de comodules et donnons certains résultats de classification quant à leurs objets de Hopf-Galois. Ensuite, nous donnons une classification des SO(3)-déformations compactes tout en étudiant le cas non-compact. Finalement, la dernière partie de la thèse est une étude de l’algèbre sous-jacente à une certaine famille d’algèbres de Hopf, dont nous exhibons une base. Cette base nous permet de calculer le centre des ces algèbres ainsi que quelques groupes de (co)homologie.

  • Titre traduit

    Fusion semiring of quantum groups


  • Résumé

    The purpose of this dissertation is to classify quantum groups according to invariants coming from their representation theory. More precisely, we classify Hopf algebras having a fusion semiring isomorphic to that of a given reductive algebraic group G. Such a quantum group is called a G-deformation. We study the case of GL(2) and SO(3). We give a complete classification of GL(2)-deformations by building a family of Hopf algebras parametrized by invertible matrices. We describe their comodule category and we give some classification results about the Hopf-Galois objects. We also classify compact SO(3)-deformations and we study the noncompact case. Finally, the last part of this dissertation is a study of the underlying algebra of some Hopf algebras, for which we exhibit a linear basis. This basis allows us to compute the centre and some (co)homology groups of those algebras.


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