Estimates of the conjugacy to rotations of circle diffeomorphisms. Successives conjugacies and smooth realizations

• Auteur / Autrice : Mostapha Benhenda
• Direction : Bassam Fayad
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 2012
• Etablissement(s) : Paris 13

Mots clés

Mots clés contrôlés

Difféomorphismes

Théorie ergodique

Dynamique différentiable

Mots clés libres

Nombre de rotation

Réalisation lisse

Méthode de Arnosov-Katok

Résumé

Cette thèse traite de quelques questions de dynamique différentiable. Elle se compose de deux parties relativement indépendantes, comprenant chacune deux chapitres. La première partie établit des estimées de la conjugaison à des rotations de difféomorphismes du cercle, et en obtient des applications. La seconde partie porte sur la méthode de construction par conjugaisons successives et le problème de réalisation différentiable. Le premier chapitre part d’un théorème célèbre de Herman et Yoccoz, qui affirme que si un difféomorphisme C∞ du cercle f a un nombre de rotation alpla qui satisfait à une condition diophantienne, alors f est C∞-conjugué à une rotation. Nous établissons des relations explicites entre les normes Ck de cette conjugaison et la condition diophantienne sur α. Pour obtenir ces estimées, nous modifions convenablement la preuve de Yoccoz. Dans le deuxième chapitre, nous utilisons certaines de ces estimées pour montrer deux résultats. Le premier porte sur le problème de quasi-réductibilité : pour un ensemble Baire-dense de nombres α, pour tout difféomorphisme f de nombre de rotation α, il est possible d’accumuler R α avec une suite hnfhn-1, h étant un difféomorphisme. Le second résultat de ce chapitre est : pour un ensemble Baire-dense de nombres α, étant donnés deux difféomorphismes f and g qui commutent, tels que f a α pour nombre de rotation, il est possible d’approcher chacun d’eux par des difféomorphismes fn et gn, qui commutent, et qui sont conjugués de manière différentiable à des rotations. Le troisième chapitre traite du problème de réalisation lisse non-standard de translations du tore. Sur certaines variétés admettant une action du cercle, nous construisons des difféomorphismes préservant le volume, et métriquement isomorphes à des translations ergodiques du tore, tels qu’une coordonnée de la translation soit un nombre de Liouville arbitraire. Pour obtenir ce résultat, nous déterminons des conditions suffisantes sur des vecteurs de translation du tore qui permettent de construire explicitement la suite de conjugaisons successives dans la méthode d’Anosov-Katok, avec des estimées convenables de leur norme. Dans le quatrième chapitre, sur les mêmes variétés que précédemment, et pour certains angles de Liouvilled α, nous montrons que l'adhérence lisse de la classe de conjugaison lisse et préservant le volume de rotation Sα contient un difféomorphisme lisse et préservant le volume théta qui est métriquement isomorphe à une rotation irrationnelle du cercle Rβ, avec α différent de β, et avec α et β choisis rationnellement dépendants ou rationnellement indépendants. En particulier, l'anneau fermé [0,1] x T admet une pseudo rotation lisse ergodique T d'angle α qui est métriquement isomorphe à une rotation Rβ.

This thesis deals with some questions of differentiable dynamics. It consists of two relatively independent parts, each consisting of two chapters. The first part sets estimated conjugation to circle diffeomorphisms rotations, and obtains applications. The second part focuses on the construction method by successive conjugations and the problem of achieving differentiable. The first chapter from a famous theorem of Herman and Yoccoz, which states that if a C ∞ diffeomorphism of the circle fa Alpla a rotation number which satisfies a diophantine condition, then f is C ∞-conjugate to a rotation. We establish explicit relationships between the standards of this conjugation Ck and Diophantine condition on α. To obtain these estimates, we modify the proof of Yoccoz properly. In the second chapter, we use some of these estimates to show two results. The first concerns the problem of quasi-reducibility: for all Baire-dense numbers α, for any diffeomorphism f with rotation number α, it is possible to build a sequence R with α hnfhn-1, where h is a diffeomorphism. The second result of this chapter is: a whole-dense Baire numbers α, given two diffeomorphisms f and g which commute, such as F α for rotation number, it is possible to approach each by diffeomorphisms fn and gn, which switch, and which are combined so as to rotations differentiable. The third chapter addresses the problem of achieving smooth non-standard translations of the torus. On some varieties admitting an action of the circle, we construct diffeomorphisms preserving the volume and metrically isomorphic to the torus ergodic translations, such as coordinated translation is a Liouville number arbitrarily. To obtain this result, we determine sufficient conditions on the torus translation vectors that can explicitly construct the following successive conjugations method Anosov-Katok, with their estimated standard suitable. In the fourth chapter, the same varieties as above, and for some angles Liouvilled α, we show that the adhesion of the smooth conjugacy class of volume preserving smooth rotation LHS contains a smooth diffeomorphism preserving the volume that theta is metrically isomorphic to irrational rotation of the circle Rβ with β different from α, α and β with dependent rationally selected or rationally independent. In particular, the closed ring [0,1] x T admits a pseudo smooth ergodic rotation angle α T is metrically isomorphic to a rotation Rβ.