Inférence statistique dans les modèles mixtes à dynamique Markovienne

par Maud Delattre

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Marc Lavielle.

Soutenue le 04-07-2012

à Paris 11 , dans le cadre de Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) (laboratoire) et de Équipe Probabilités et Statistiques (équipe de recherche) .

Le président du jury était Elisabeth Gassiat.

Le jury était composé de Marc Lavielle, Elisabeth Gassiat, Éric Moulines, Valentine Genon-Catalot, France Mentré.

Les rapporteurs étaient Jean-Marc Azaïs, Éric Moulines.

mots clés

• Maximum de vraisemblance
• Modèles à effets mixtes
• Modèles de Markov cachés
• Équations différentielles stochastiques
• Algorithme SAEM
• Sélection de modèles
• Pharmacologie
• Markov, Processus de
• Algorithmes EM

Résumé

La première partie de cette thèse est consacrée a l'estimation par maximum de vraisemblance dans les modèles mixtes a dynamique markovienne. Nous considérons plus précisément des modèles de Markov cachés a effets mixtes et des modèles de diffusion à effets mixtes. Dans le Chapitre 2, nous combinons l'algorithme de Baum-Welch a l'algorithme SAEM pour estimer les paramètres de population dans les modèles de Markov cachés à effets mixtes. Nous proposons également des procédures spéciques pour estimer les paramètres individuels et les séquences d'états cachés. Nous étudions les propriétés de cette nouvelle méthodologie sur des données simulées et l'appliquons sur des données réelles de nombres de crises d'épilepsie. Dans le Chapitre 3, nous proposons d'abord des modèles de diffusion à effets mixtes pour la pharmacocinétique de population. Nous en estimons les paramètres en combinant l'algorithme SAEM a un filtre de Kalman étendu. Nous étudions ensuite les propriétés asymptotiques de l'estimateur du maximum de vraisemblance dans des modèles de diffusion observés sans bruit de mesure continûment sur un intervalle de temps fixé lorsque le nombre de sujets tend vers l'infini. Le Chapitre 4 est consacré à la sélection de covariables dans des modèles mixtes généraux. Nous proposons une version du BIC adaptée au contexte de double asymptotique ou le nombre de sujets et le nombre d'observations par sujet tendent vers l'infini. Nous présentons quelques simulations pour illustrer cette procédure.

mots clés

• Maximum likelihood
• Mixed-effects models
• Hidden Markov models
• Stochastic differential equations
• SAEM algorithm
• Model selection
• Pharmacology

Titre traduit

Statistical inference for Markovian mixed-effects models

Résumé

The first part of this thesis deals with maximum likelihood estimation in Markovianmixed-effects models. More precisely, we consider mixed-effects hidden Markov models and mixed-effects diffusion models. In Chapter 2, we combine the Baum-Welch algorithm and the SAEM algorithm to estimate the population parameters in mixed-effects hidden Markov models. We also propose some specific procedures to estimate the individual parameters and the sequences of hidden states. We study the properties of the proposed methodologies on simulated datasets and we present an application to real daily seizure count data. In Chapter 3, we first suggest mixed-effects diffusion models for population pharmacokinetics. We estimate the parameters of these models by combining the SAEM algorithm with the extended Kalman filter. Then, we study the asymptotic properties of the maximum likelihood estimatein some mixed-effects diffusion models continuously observed on a fixed time interval when the number of subjects tends to infinity. Chapter 4 is dedicated to variable selection in general mixed-effects models. We propose a BIC adapted to the asymptotic context where both of the number of subjects and the number of observations per subject tend to infinity. We illustrate this procedure with some simulations.