Extensions of the Itô formula through Malliavin calculus and application to a variational problem
Extensions de la formule d'Itô par le calcul de Malliavin et application à un problème variationnel
Résumé
This dissertation studies the extension of the Itô formula to the case of distibution-valued paths of bounded variation lifted by processes which are regular in the sense of Malliavin calculus. We make optimal hypotheses, which gives us access to many applications. The first chapter is a primer in Malliavin calculus. The second chapter provides useful results on the toplogy of the schwartz class and of the space of tempered distributions. in the third chapter, we give optimal conditions under which a tempered distribution may be composed by a random variable and we study the malliavin regularity of the object thus defined. Interpolation techniques give access to results in fractional spaces. We also give results for the case where the tempered distribution is itself stochastic. These results allow us to obtain, in chapter 4, a weak Itô formula under hypotheses which are much weaker than those usually made in the litterature. We also give an Itô-Wentzell and an anticipative version. In the case where the process to which the ito formula is applied is the solution to an SDE, we give a more precise result, which we use to study the reguarity of the multi-dimensional local time. Finally the fifth chapter solves a variational problem under hypotheses which are much weaker than the usual assumption of hypoellipticity
Ce travail de thèse est consacré à l'extension de la formule d'Itô au cas de chemins à variations bornées à valeurs dans l'espace des distributions tempérées composés par des processus réguliers au sens de Malliavin. On s'attache en particulier à faire des hypothèses de régularité minimales, ce qui donne accès à un certain nombre d'applications de notre principal résultat, en particulier à l'étude d'un problème variationnel. Le premier chapitre est consacré à des rappels de calcul de Malliavin. Le deuxième donne des résultats sur la topologie sur la classe de Schwartz et l'espace des distributions tempérées. Dans le troisième chapitre, on donne des conditions optimales sous lesquelles on peut définir la composition d'une distribution tempérée par une variable aléatoire et quelle est la régularité au sens de Malliavin de l'objet ainsi construit. Des techniques d'interpolation permettent d'obtenir des résultats pour des espaces fractionnaires. On donne également des résultats pour le cas où la distribution est elle-même stochastique. Ces résultats nous permettent d'écrire, au chapitre 4, une formule d'Ito faible s'appliquant sous des hypothèses beaucoup plus faibles que celles généralement proposées dans la littérature. On donne aussi une version anticipative et une formule de type Ito-Wentzell. On donne des résultats plus précis dans le cas où le processus auquel on applique notre formule est la solution d'une EDS simple et on applique ce résultat à l'étude de la régularité du temps local en dimension quelconque. Enfin le cinquième chapitre résout un problème variationnel simple en affaiblissant considérablement une hypothèse d'ellipticité faite par la plupart des auteurs.
Origine : Version validée par le jury (STAR)