Transport optimal : régularité et applications

Optimal Transport : Regularity and applications

• Auteur / Autrice : Thomas Gallouët
• Direction : Cédric Villani
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/12/2012
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)
• Jury : Président / Présidente : Sylvia Serfaty
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Cédric Villani, Sylvia Serfaty, José A. Carrillo de la Plata, Hatem Zaag, Lucilla Corrias, Vincent Calvez, Ludovic Rifford
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Young-Heon Kim, José A. Carrillo de la Plata

Mots clés

Mots clés contrôlés

Transport optimal de mesure

Mots clés libres

Transport optimal

Régularité

Ma-Trundinger-Wang

MTW

Coût

Variété riemannienne

Convexité

Domaine d'injectivité

Lipschitz

C-convexité

Keller-Segel

Quantification de la masse

Particules

1D

Explosion

Wasserstein

Flot gradient

Espace métrique

Masse critique

Optimal transport

Regularity

Ma-Trundinger-Wang

MTW

Cost

Riemannian manifold

Convexity

Injectivity domain

Lipschitz continuous

C-convexity

Keller-Segel

Mass quantization

Particles

1D

Blow-up

Wasserstein

Gradient flow

Metric space

Critical mass

Résumé

Cette thèse comporte deux parties distinctes, toutes les deux liées à la théorie du transport optimal. Dans la première partie, nous considérons une variété riemannienne, deux mesures à densité régulière et un coût de transport, typiquement la distance géodésique quadratique et nous nous intéressons à la régularité de l’application de transport optimal. Le critère décisif à cette régularité s’avère être le signe du tenseur de Ma-Trudinger-Wang (MTW). Nous présentons tout d’abord une synthèse des travaux réalisés sur ce tenseur. Nous nous intéressons ensuite au lien entre la géométrie des lieux d’injectivité et le tenseur MTW. Nous montrons que dans de nombreux cas, la positivité du tenseur MTW implique la convexité des lieux d’injectivité. La deuxième partie de cette thèse est liée aux équations aux dérivées partielles. Certaines peuvent être considérées comme des flots gradients dans l’espace de Wasserstein W2. C’est le cas de l’équation de Keller-Segel en dimension 2. Pour cette équation nous nous intéressons au problème de quantification de la masse lors de l’explosion des solutions ; cette explosion apparaît lorsque la masse initiale est supérieure à un seuil critique Mc. Nous cherchons alors à montrer qu’elle consiste en la formation d’un Dirac de masse Mc. Nous considérons ici un modèle particulaire en dimension 1 ayant le même comportement que l’équation de Keller-Segel. Pour ce modèle nous exhibons des bassins d’attractions à l’intérieur desquels l’explosion se produit avec seulement le nombre critique de particules. Finalement nous nous intéressons au profil d’explosion : à l’aide d’un changement d’échelle parabolique nous montrons que la structure de l’explosion correspond aux points critiques d’une certaine fonctionnelle.

This thesis consists in two distinct parts both related to the optimal transport theory.The first part deals with the regularity of the optimal transport map. The key tool is the Ma-Trundinger-Wang tensor and especially its positivity. We first give a review of the known results about the MTW tensor. We then explore the geometrical consequences of the MTW tensor on the injectivity domain. We prove that in many cases the positivity of MTW implies the convexity of the injectivity domain. The second part is devoted to the behaviour of a Keller-Segel solution in the super critical case. In particular we are interested in the mass quantization problem: we wish to quantify the mass aggregated when the blow-up occurs. In order to study the behaviour of the solution we consider a particle approximation of a Keller-Segel type equation in dimension 1. We define this approximation using the gradient flow interpretation of the Keller-Segel equation and the particular structure of the Wasserstein space in dimension 1. We show two kinds of results; we first prove a stability theorem for the blow-up mechanism: we exhibit basins of attraction in which the solution blows up with only the critical number of particles. We then prove a rigidity theorem for the blow-up mechanism: thanks to a parabolic rescaling we prove that the structure of the blow-up is given by the critical points of a certain functional.