Décomposition des rotations nD et arithmétisation des cercles

Decomposition of nD rotations and circle arithmetization

• Auteur / Autrice : Aurélie Richard
• Direction : Gaëlle Largeteau-Skapin, Laurent Fuchs, Éric Andres
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique et applications
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Poitiers

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbre linéaire

Géométrie discrète

Estimation de paramètres

Groupes de rotations

Résumé

Cette thèse est basée sur deux axes principaux : la décomposition des rotations nD et le processus d'arithmétisation des cercles. D'une part, estimer les paramètres des rotations est utile dans de nombreux domaines d’applications. Les méthodes existantes ne peuvent pas être étendues à la dimension n et/ou ne sont pas robustes au bruit. Dans cette thèse, nous étudions les rotations nD bruitées et nous proposons des algorithmes permettant de les décomposer et d'estimer leurs paramètres. Les deux premières méthodes utilisent respectivement l'algèbre géométrique et la décomposition de Schur des matrices. Elles estiment les paramètres (plans et angles) des rotations à partir de n vecteurs et leurs images par cette rotation. Notre troisième algorithme décompose les rotations en rotations planes de même angle (rotations isoclines). D'autre part, le processus d'arithmétisation par des schémas numériques est souvent utilisé en géométrie discrète car il permet de donner un équivalent discret à une courbe continue. Nous étudions l'application de ce processus à l'équation différentielle du cercle dans le cas du schéma de Heun. Nous présentons notamment des résultats sur la connexité des arcs de cercles générés par cette méthode. Des résultats sur l'ordre de l'erreur de la méthode sont finalement proposés.

This thesis deals with the decomposition of nD-rotations and the arithmetization process applied to circles. The estimation of rotation parameters is a question with wide range applications. Current methods can not be extended to dimension n and/or are not robust to noise. The noisy nD-rotations are studied and algorithms to decompose them and to estimate their parameters are proposed. The first two methods rely on the geometric algebra and the Schur decomposition. They provide the rotation parameters (planes and angles) from n vectors and their images by this rotation. The third algorithm decomposes nD-rotations into planar rotations of same angles (isoclinic rotations). The arithmetization process based on numerical schemes is used in discrete geometry because it provides a discrete equivalent of a continuous curve. This process is applied to the differential equation of the circle with the Heun scheme. Results about the connectedness of the generated circular arcs are presented. The approximation order of the obtained arithmetization process is also defined and studied.