Liquidity risk modelling and quantization methods applied to sequential stochastic control

• Auteur / Autrice : Paul Gassiat
• Direction : Huyên Pham
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Risque financier

Marché monétaire

Optimisation mathématique

Hamilton-Jacobi, Équations de

Résumé

Cette thèse est constituée de deux parties pouvant être lues indépendamment. Dans la première partie on s'intéresse à la modélisation mathématique du risque de liquidité. L'aspect étudié ici est la contrainte sur les dates des transactions, c'est-à-dire que contrairement aux modèles classiques où les investisseurs peuvent échanger les actifs en continu, on suppose que les transactions sont uniquement possibles à des dates aléatoires discrètes. On utilise alors des techniques de contrôle optimal (programmation dynamique, équations d'Hamilton-Jacobi-Bellman) pour identifier les fonctions valeur et les stratégies d'investissement optimales, sous ces contraintes. Le premier chapitre étudie un problème de maximisation d'utilité en horizon fini, dans un cadre inspiré des marchés de l'énergie. Dans le deuxième chapitre on considère un marché illiquide à changements de régime, et enfin dans le troisième chapitre on étudie un marché où l'agent a la possibilité d'investir à la fois dans un actif liquide et un actif illiquide, ces derniers étant corrélés. Dans la deuxième partie on présente des méthodes probabilistes de quantification pour résoudre numériquement un problème de switching optimal. On considère d'abord une approximation en temps discret du problème et on prouve un taux de convergence. Ensuite on propose deux méthodes numériques de quantification : une approche markovienne où on quantifie la loi normale dans le schéma d'Euler, et dans le cas où la diffusion n'est pas contrôlée, une approche de quantification marginale inspirée de méthodes numériques pour le problème d'arrêt optimal.

This thesis is divided into two parts that may be read independently. The first part is about the mathematical modelling of liquidity risk. The aspect of illiquidity studied here is the constraint on the trading dates, meaning that in opposition to the classical models where investors may trade continuously, we assume that trading is only possible at discrete random times. We then use optimal control techniques (dynamic programming and Hamilton-Jacobi-Bellman equations) to identify the value functions and optimal investment strategies under these constraints. The first chapter focuses on a utility maximisation problem in finite horizon, in a framework inspired by energy markets. In the second chapter we study an illiquid market with regime-switching, and in the third chapter we consider a market in which the agent has the possibility to invest in a liquid asset and an illiquid asset which are correlated. In the second part we present probabilistic quantization methods to solve numerically an optimal switching problem. We first consider a discrete time approximation of our problem and prove a convergence rate. Then we propose two numerical quantization methods : a markovian approach where we quantize the gaussian in the Euler scheme, and, in the case where the underlying diffusion is not controlled, a marginal quantization approach inspired by numerical methods for the optimal stopping problem.