Cohomologie quantique des grassmanniennes symplectiques impaires

Quantum cohomology of symplectic Grassmannians

• Auteur / Autrice : Clélia Pech
• Direction : Laurent Manivel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/12/2011
• Etablissement(s) : Grenoble
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Ressayre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurent Manivel, Michel Brion, Alessandro Chiodo, Etienne Mann
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Andrew Kresch, Nicolas Perrin

Mots clés

Mots clés libres

Cohomologie quantique

Espaces quasi-homogènes

Grassmanniennes

Invariants de Gromov-Witten

Formules de Pieri et de Giambelli

Quantum cohomology

Quasi-homogeneous spaces

Grassmannians

Gromov-Witten invariants

Pieri and Giambelli formulas,

Résumé

Les grassmanniennes symplectiques impaires sont une famille d'espaces quasi-homogènes très proches des grassmanniennes symplectiques de par leur construction et leurs propriétés. Dans ce travail, j'étudie leur cohomologie classique et quantique. Pour les grassmanniennes symplectiques impaires de droites, j'obtiens une règle de Pieri quantique ainsi qu'une présentation de l'anneau de cohomologie quantique. J'en déduis la semi-simplicité de cet anneau et je détermine une collection exceptionnelle complète pour la catégorie dérivée, ce qui me permet de vérifier pour cet exemple une conjecture de Dubrovin. Dans le cas général, je démontre un principe quantique-classique pour certains invariants de Gromov-Witten de degré un. Sous réserve de l'énumérativité des invariants de degré supérieur, je prouve que la règle de Pieri quantique est entièrement déterminée par le calcul des invariants de degré un.

Odd symplectic Grassmannians are a family of quasi-homogeneous spaces that are closely related to symplectic Grassmannians by their construction and properties. The goal of this work is to study their classical and quantum cohomology. For odd symplectic Grassmannians of lines, I obtain a quantum Pieri rule and a presentation of the quantum cohomology ring. I prove the semisimplicity of this ring and determine a full exceptional collection for the derived category, which enables me to check a conjecture of Dubrovin in this example. In the general case, I prove a quantum-to-classical principle for some degree one Gromov-Witten invariants. Assuming higher-dimensional Gromov-Witten invariants are enumerative, I conclude that the quantum Pieri rule is entirely determined by the knowledge of degree one invariants.