Infinite-dimensional idempotent analysis : the role of continuous posets

par Paul Poncet

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Marianne Akian.

Soutenue en 2011

à Palaiseau, Ecole polytechnique .

  • Titre traduit

    Analyse idempotente en dimension infinie : le rôle des ensembles ordonnés continus


  • Résumé

    L'analyse idempotente étudie les espaces linéaires de dimension infinie dans lesquels l'opération maximum se substitue à l'addition habituelle. Nous démontrons un ensemble de résultats dans ce cadre, en soulignant l'intérêt des outils d'approximation fournis par la théorie des domaines et des treillis continus. Deux champs d'étude sont considérés : l'intégration et la convexité. En intégration idempotente, les propriétés des mesures maxitives à valeurs dans un domaine, telles que la régularite�� au sens topologique, sont revues et complétées ; nous élaborons une réciproque au théorème de Radon-Nikodym idempotent ; avec la généralisation Z de la théorie des domaines nous dépassons différents travaux liés aux représentations de type Riesz des formes linéaires continues sur un module idempotent. En convexité tropicale, nous obtenons un théorème de type Krein-Milman dans différentes structures algébriques ordonnées, dont les semitreillis et les modules idempotents topologiques localement convexes ; pour cette dernière structure nous prouvons un théorème de représentation intégrale de type Choquet : tout élément d'un compact convexe K peut être représenté par une mesure de possibilité supportée par les points extrêmes de K. Des réflexions sont finalement abordées sur l'unification de l'analyse classique et de l'analyse idempotente. La principale piste envisagée vient de la notion de semigroupe inverse, qui généralise de façon satisfaisante à la fois les groupes et les semitreillis. Dans cette perspective nous examinons les propriétés "miroir" entre semigroupes inverses et semitreillis, dont la continuité fait partie. Nous élargissons ce point de vue en conclusion


  • Résumé

    Idempotent analysis involves the study of infinite-dimensional linear spaces in which the usual addition is replaced by the maximum operation. We prove a series of results in this framework and stress the crucial contribution of domain and continuous lattice theory. Two themes are considered: integration and convexity. In idempotent integration, the properties of domain-valued maxitive measures such as regularity are surveyed and completed in a topological framework; we provide a converse statement to the idempotent Radon-Nikodym theorem; using the Z generalization of domain theory we gather and surpass existing results on the representation of continuous linear forms on an idempotent module. In tropical convexity, we obtain a Krein-Milman type theorem in several ordered algebraic structures, including locally-convex topological semilattices and idempotent modules; in the latter structure we prove a Choquet integral representation theorem: every point of a compact convex subset K can be represented by a possibility measure supported by the extreme points of K. The hope for a unification of classical and idempotent analysis is considered in a final step. The notion of inverse semigroup, which fairly generalizes both groups and semilattices, may be the right candidate for this; in this perspective we examine "mirror" properties between inverse semigroups and semilattices, among which continuity. The general conclusion broadens this point of view

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  • Détails : 1 vol. (217 p.)
  • Annexes : Bibliographie : 307 réf.

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  • Bibliothèque : École polytechnique. Bibliothèque Centrale.
  • Disponible pour le PEB
  • Bibliothèque : École polytechnique. Bibliothèque Centrale.
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  • Cote : A1B 112/2011/PON
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