Mécanismes de bord complexes pour le processus d’exclusion simple totalement asymétrique

Complex boundaries for the Totally Asymmetric Simple Exclusion process

• Auteur / Autrice : Nicky Sonigo
• Direction : Alice Guionnet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 02/11/2011
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)
• Jury : Président / Présidente : Pierre Mathieu
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alice Guionnet, Pierre Mathieu, Christophe Bahadoran, Vincent Beffara
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christophe Bahadoran

Mots clés

Mots clés libres

Systèmes de particules

Processus d’exclusion

Méthodes de couplage

Métastabilité

Particle systems

Exclusion process

Coupling methods

Metastability

Résumé

Le processus d’exclusion simple est défini formellement de la façon suivante : chaque particule effectue une marche aléatoire sur un ensemble de sites et interagit avec les autres particules en ne se déplaçant jamais sur un site occupé.Malgré sa simplicité, ce processus présente des propriétés que l’on retrouve dans beaucoup de modèles de mécanique statistique plus complexes. C’est la conjonction de la simplicité du processus et de l’intérêt des phénomènes observés quien fait l’un des modèles de référence en mécanique statistique hors équilibre. Dans cette thèse, je me suis intéressé au cas du processus d’exclusion totalement asymétrique (les particules sautent uniquement vers la droite) sur Nafin d’étudier son comportement en fonction du mécanisme de création de particules: on crée des particules au site 0 avec un taux dépendant de la configurationactuelle. Dès que ce mécanisme n’est plus un processus de Poisson, le processusd’exclusion associé n’admet plus de mesure invariante sous forme de produitce qui fait que les méthodes classiques de calcul sur le générateur infinitésimaln’aboutissent que rarement. Je me suis donc appuyé principalement sur les méthodesde couplage et de particules de deuxième classe.Dans la première partie de la thèse, je me suis intéressé au modèle introduitpar Grosskinsky pour lequel j’ai obtenu les résultats suivants : si le taux maximumde création et la densité initiale de particules sont plus petits que 12 et sile mécanisme de création est à portée intégrable, il n’y a pas de transition dephase c’est-à-dire qu’il n’y a qu’une seule mesure invariante.Dans la deuxième partie de la thèse, je me suis intéressé au problème inversedont le but est de construire un processus à portée finie mais non-intégrableayant une transition de phase. Pour cela, je me suis inspiré des méthodes développéespour le processus des spécifications de Bramson et Kalikow.

The simple exclusion process is formally defined as follows : each particle performs a simple random walk on a set of sites and interacts with other particles by never moving on occupied sites. Despite its simplicity, this process has properties that are found in many more complex statistical mechanics models. It is the combination of the simplicity of the process and the importance of the observed phenomena that make it one of the reference models in out of equilibrium statistical mechanics. In this thesis, I’m interested in the case of the totally asymmetric exclusion process (particles jump only to the right) on N to study its behavior according to the mechanism of particle creation : particles are created at site 0 with arate depending on the current configuration. Once this mechanism is no longer a Poisson process, the associated exclusion process does not admit a product invariant measure. As a consequence, classical computation methods with theinfinitesimal generator are rarely successful. So I used mainly the methods of coupling and second class particles.In the first part of the thesis, I’m interested in the model introduced by Grosskinsky for which I get the following result : if the maximum rate of creation and the initial density of particles are smaller than 12 and if the creation mechanism is of integrable range, there is no phase transition which means that there is only one invariant measure. In the second part of the thesis, my goal was to construct a process with finite and non-integrable range that has a phase transition. For this, I was inspired by methods developed for the process of specification of Bramson and Kalikow.