Certificats algébriques pour le théorème de Budan
Auteur / Autrice : | Daniel Bembé |
Direction : | Henri Lombardi, Peter Schuster |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques et applications |
Date : | Soutenance le 02/08/2011 |
Etablissement(s) : | Besançon |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Louis Pasteur (Besançon ; ....-2012) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques de Besançon |
Jury : | Président / Présidente : Laureano Gonzales-Vega |
Examinateurs / Examinatrices : Peter Schuster, Laureano Gonzales-Vega, André Galligo, Helmut Schwichtenberg, Hervé Perdry, Werner Bley | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Laureano Gonzales-Vega, André Galligo |
Mots clés
Résumé
Dans ce travail, nous présentons deux certificats algébriques pour le théorème de Budan. Le théorème de Budan s'énonce comme suit : Soit R un corps ordonné, f in R[X] de degré n et a,b in R avec a<b. Alors, le nombre de variations de signe dans la suite (f(b),f'(b),...,f^n(b)) n'est pas supérieur au nombre de variations de signe dans la séquence (f(a),f'(a),...,f^n(a)). Cela nous permet de compter des racines réelles d'une manière similaire au comptage des racines réelles par le théorème de Sturm. (Compter des racines réelles à la Budan est aujourd'hui connu comme Budan-Fourier count. En effet, il compte des racines dites virtuelles qui comprennent les racines réelles.) Un certificat algébrique pour le théoème de Budan est un certain type de preuve qui mène de la négation de l'hypothèse à l'identité algébrique contradictionelle 0>0. L'algorithme pour notre premier certificat est basé sur la preuve historique par Budan, qui utilise uniquement des arguments combinatoires. Il a une complexité exponentielle dans le degré de f. L'algorithme pour le deuxième certificat est basé sur des suites de Taylor mixtes et exhibe une plus petite complexité : Le calcul principal est la résolution d'un système linéaire, ce qui est polynomiale dans le degré de f