Etude mathématique et numérique de cristaux photoniques fortement contrastés

Mathematical and numerical study of highly contrasted photonic cristals

• Auteur / Autrice : Christophe Bourel
• Direction : Guy Bouchitte
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Toulon
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Institut de mathématiques de Toulon et du Var (IMATH). EA 2134 (Toulon) - Université du Sud Toulon-Var. UFR de Sciences et Techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Homogénéisation (équations différentielles)

Équations aux dérivées partielles

Maxwell, Équations de

Cristaux photoniques

Métamatériaux

Résumé

Dans cette thèse, on se propose d’étudier rigoureusement le comportement macroscopique de matériaux composites fortement contrastés dans le cadre de l’électromagnétisme. Nous considérons des structures constituées de micro-inclusions réparties périodiquement (ou aléatoirement), au sein desquelles un matériau de très grande permittivité, ou de très grande conductivité, sera disposé. En pratique, une telle structure occupe un domaine borné 3D et est éclairée par une onde incidente monochromatique (de fréquence fixée) venant de l’infini. Notre approche mathématique consiste à passer à la limite dans le système de Maxwell décrivant le problème de diffraction lorsque la distance séparant les inclusions tend vers zéro, et que l’indice électromagnétique des inclusions tend vers l’infini (« fort contraste »). Nous étudions deux types de structures diffractantes 3D qui permettent de réaliser des matériaux de permittivité ou perméabilité négatives. L’étude asymptotique et basée sur la méthode de convergence double-échelle (parfois dans une variante stochastique), et les problèmes sur la cellule de périodicité qui en résultent sont résolus par méthode spectrale. Ceci permet d’obtenir explicitement les tenseurs effectifs en fonction de la fréquence, mettant ainsi en évidence leurs grandes variations autour de fréquences de résonances.

This thesis is to develop the macroscopic behaviour of highly contrasted composite materials in an electromagnetic framework. We consider structures made of periodically (or randomly) distributed micro-inclusions made of high conductivity or high permittivity medium. Actually, such a structure is to be found in a three-dimensional bounded domain which is illuminated by an infinity-coming monochromatic incident wave. Our mathematical approach consists in passing to the limit in the Maxwell system describing the diffraction problem when the distance between inclusions goes to zero while the electromagnetic constant of inclusions goes to infinity (“high contrast”) We are studying two 3D diffracting structures which lead to negative permittivity or permeability materials. The asymptotic study is based on the two-scale convergence method (sometimes in a stochastic way), and the resulting unit cell problems are solved by spectral method. This leads to an explicit formulation of the effective tensor according to the frequency, which highlights their huge variations around the so-called resonant frequencies.