Prise en compte des singularités géométriques dans le préconditionnement d'équations intégrales pour le problème de Helmholtz

Taking into account geometrical singularities in the preconditionment of integral equations for the Helmholtz problem

• Auteur / Autrice : Séverine Molko-Daugas
• Direction : François Alouges, David Levadoux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Alouges, David Levadoux, Houssem Haddar, Florian Méhats, Toufic Abboud, Frédéric Lagoutière
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Houssem Haddar, Florian Méhats

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mellin, Transformation de

Équations intégrales

Mots clés libres

Opérateurs de Mellin

Théorie pseudo-différentielle sur variétés singulières

Opérateur Dirichlet-to-Neumann

Résumé

Pour la résolution numérique de la diffraction d'une onde par un objet, plusieurs méthodes sont utilisables dont une grande classe consiste à ne poser le problème que sur le bord de l'objet à l'aide d'une formulation intégrale de la solution. Le problème linéaire à résoudre peut néanmoins être de grande taille si le bord de l'objet est finement discrétisé, et l'emploi de méthodes itératives devient incontournable pour résoudre le système linéaire sous-jacent. Ceci conduit naturellement à se poser la question de préconditionner ce système afin d'en accélérer sa résolution. Une technique efficace (la GCSIE) a été développée à l'Onera dans le cas de surfaces lisses. Elle consiste à utiliser une approximation de l'opérateur admittance (Dirichlet-ta-Neumann). Lorsque la surface possède des singularités (arêtes, coins, pointes, etc. ), comme c'est souvent le cas dans les applications, la technique fonctionne sensiblement moins bien, la qualité de l'approximation, fondée intrinsèquement sur une approximation de la surface par son plan tangent, étant mauvaise près de ces endroits. L'idée que nous proposons consiste à garder le schéma numérique de la GCSIE classique, mais en utilisant l'admittance de surfaces canoniques (plan tangent comme pour les surfaces lisses, arête, coin, ou cône). Cela suppose donc de connaître l'admittance de surfaces canoniques, mais aussi de pouvoir étudier les opérateurs sur des surfaces non lisses. Dans cette thèse, nous traitons le cas du problème de Helmholtz en dimension 2. L'admittance du cône infini pour le problème de Laplace se calcule explicitement grâce à la transformée de Mellin. En ce qui concerne le problème de Helmholtz, nous avons utilisé une décomposition spectrale pour donner une expression explicite de l'admittance du cône infini, utilisable en pratique. D'autre part, la théorie pseudo-différentielle de Kondrat'ev et Schulze sur des ouverts singuliers nous permet de faire l'analyse et de montrer le caractère bien posé de la formulation GCSIE. Enfin, nous avons implémenté la nouvelle GCSIE comme définie plus haut. Nous obtenons une amélioration de la vitesse de convergence de l'ordre de 50% par rapport à la GCSIE habituelle sur une pointe (et un facteur 10 par rapport aux équations classiques), ainsi qu'une amélioration de la précision de l'ordre de 75%.

To compute the scattering of an abject, we can use several methods. Among them, a great class consists in posing the problem on the boundary of the diffracted abject. In this way, we gain one spatial dimension and we get around the problem of the infinite exterior domain. But the linear system is full, and because of the high frequency, the number of unknowns is large. So we have to use iterative methods to solve, the underlying linear system. This leads to pose the question of the preconditionment, in order to accelerate the solving. Recently, an efficient method (the GCSIE) was developed at Onera for smooth boundaries. It consists in using an approximation of the admittance (Dirichlet-to-Neumann). When the boundary has some singularities (edges, wedges, cones, etc. ), like in a lot of applications, this method is less efficient because of the quality of the approximation, based on the approximation of the boundary by its tangent plane. The idea we suggest, is to keep the numerical scheme of the classical GCSIE, but by using the admittance of canonical boundaries (tangent plane on smooth boundaries, edges, wedges, cones). This implies to know the admittance of canonical boundaries, and to know how to study operators on singular surfaces. In this PhD work, we study the 2d Helmholtz problem. The admittance of an infinite cone is explicitely known, thanks to the Mellin transform. For the Helmholtz problem, we have used a spectral decomposition, to give an explicite expression of the admittance of an infinite cone, which is computable. On the other hand, the Kondrat'ev and Schulze pseudo-differential theory on singular manifolds allows us to make the analysis and to prove that the so-build GCSIE is well-posed. Finally, we have computed this new GCSIE. We obtain an about 50% improvement for the convergence speed, and about 75% for the precision. So we have divised by 10 the number of iterations for the convergence.