Etude dynamique de quelques équations aux dérivées partielles hamiltoniennes non linéaires à potentiel confinant

Dynamical study of some hamiltonian non linear partial differential equations with confining potential

• Auteur / Autrice : Rafik Imekraz
• Direction : Benoît Grébert
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Équations aux dérivées partielles
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Nantes
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Nantes. Faculté des sciences et des techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes hamiltoniens

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Mots clés libres

Modèle de Shrödinger non linéaire

Stabilité

Forme normale de Birkhoff

Résumé

L'objet de la thèse est l'étude de la stabilité des solutions de certaines équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires de type Schrödinger à potentiel confinant sur Rn et à condition initiale régulière. Les deux potentiels étudiés sont l'oscillateur harmonique multidimensionnel et le potentiel polynomial confinant unidimensionnel. La stabilité en question peut se résumer ainsi : il existe un intervalle temporel d'existence de la solution telle que sa longueur dépend de facon polynomiale de la petitesse de la condition initiale (existence presque globale) et sur lequel la solution reste dynamiquement proche de la solution d'une équation explicite complètement intégrable (avec même condition initiale). Nous utilisons la théorie des formes normales de Birkhoff pour aborder notre problème. Le point clé est le caractère hamiltonien des EDP concernées. Nous créons un modèle différentiel abstrait (qui comprend l'EDP étudiée) et l'on y démontre l'existence de formes normales de Birkhoff à tout ordre, c'est-à-dire des renormalisations adéquates de l'hamiltonien qui en l'occurrence impliquent la stabilité.

This thesis is concerned by stability of solutions of some non linear Schroedinger partial differential equations (PDE) on Rn with a confining potential and a regular initial condition. Two potentials are studied : the harmonic oscillator multidimensional and the polynomial confining potential unidimensional. In our context, the stability means roughly the following : the solution exists on a time-interval whose length depends polynomially on the smallness of the initial condition (almost global existence) and stays near the solution of an explicit completely integrable equation with the same initial condition. We use the Birkhoff's normal forms theory to handle our issue. The key point is the Hamiltonian structure of our PDE. We create an abstract differential model (which encompasses our PDE) and prove that it has a Birkhoff's normal form of all order, ie a proper renormalization of the Hamiltonian which ensures in particular the stability.