Systèmes dynamiques topologiques et mesurés

Topological and measured dynamical systems

• Auteur / Autrice : Jean-François Bertazzon
• Direction : Serge Troubetzkoy, Xavier Bressaud
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques, informatique, automatique
• Date : Soutenance le 03/12/2010
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 2
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Luminy (Marseille)
• Jury : Président / Présidente : François Blanchard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Serge Troubetzkoy, Xavier Bressaud, François Blanchard, Livio Flaminio, Pierre Arnoux, Emmanuel Lesigne
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Livio Flaminio

Mots clés

Mots clés contrôlés

Induction (mathématiques)

Dynamique symbolique

Dynamique topologique

Théorie ergodique

Systèmes dynamiques

Mots clés libres

Systèmes dynamiques

Théorie ergodique

Dynamique topologique

Dynamique symbolique

Substitution

Induction

Résumé

Il y a de nombreuses manières d’aborder l’étude des systèmes dynamiques. De manière générale, on munit un espace initial de structures adaptées et on s’intéresse au comportement moyen des itérés d’une application qui préserve les structures initiales. Les propriétés intéressantes peuvent être par exemple, d’origine topologique, mesurable, algébrique ou encore différentiable. La théorie ergodique est principalement concentrée sur les systèmes dynamiques mesurés. D’autre part, une autre branche de la théorie ergodique s’intéresse à des questions dites de représentation des systèmes dynamiques mesurés.Un des aspects de cette théorie est de lier les systèmes dynamiques mesurés aux systèmes dynamiques topologiques. On s’intéressera plus particulièrement au lien entre les systèmes dynamiques topologiques,mesurés et algébriques. Les nilsystèmes ont pris ces dernières années une nouvelle dimension en théorie ergodique. Ils généralisent très naturellement les translations sur des groupes abéliens compacts, et en particulier, les rotations du cercle. On fera un lien partiel entre les propriétés algébriques et symboliques d’une famille bien choisie de nilsystèmes. On s’intéressera notamment à la notion d’induction pour de tels systèmes

There are many ways to approach the study of dynamical systems. In general, one equips the originalspace with an appropriate structure, and is interested in the average behavior of a map which preservesthis structure. For example, the interesting properties could be of topological, measurable, algebraicor differentiable origin. Ergodic theory is mainly concerned with dynamical systems with an invariantmeasure (measured dynamical system). Another branch of ergodic theory studies questions about therepresentation of measured dynamical systems. One aspect of this theory is to connect measured dynamicalsystems with topological dynamical systems. More specifically, we will be interested in theconnection between topological, measured and algebraic dynamical systems.Recently nilsystems have become important in ergodic theory. They naturally generalize translations ofcompact abelian groups, and in particular circle rotations. We will give a partial connection betweenalgebraic and symbolic properties of a well chosen family of nilsystems. We are particularly interestedin induction of such systems.