Approximations hybrides de processus de Markov à sauts multi-échelles : applications aux modèles de réseaux de gènes en biologie moléculaire

Hybrid approximations for multiscale markov jumps processes : applications to gene networks in molecular biology

• Auteur / Autrice : Alina Crudu
• Direction : Ovidiu Radulescu, Arnaud Debussche
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université européenne de Bretagne (2007-2016)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Biologie moléculaire

Markov, Processus de

Approximation stochastique

Résumé

L'objectif principal de cette thèse a été de développer des nouveaux outils mathématiques pour l'étude des phénomènes stochastiques en biologique moléculaire. Les modèles mathématiques pour la dynamique stochastique des réseaux de réactions biochimiques sont basés sur les processus de Markov à sauts. On propose des approximations hybrides pour les processus de Markov à sauts multi-échelles. En utilisant comme argument heuristique un développement limité du générateur du processus à sauts (procédé connu en chimie et en physique sous le nom de développement de Kramers-Moyal) nous identifions plusieurs types d'asymptotiques hybrides : processus déterministes par morceaux et diffusions hybrides. Le développement de Kramers-Moyal permet d'obtenir de manière systématique des modèles hybrides, qui sont simulés par la suite avec des algorithmes adaptés. Les approximations déterministes par morceaux sont étudiées avec des méthodes mathématiques rigoureuses. On montre la convergence faible du processus de Markov à sauts vers deux types de processus déterministes par morceaux : avec et sans sauts dans les variables continues. Les approximations hybrides peuvent être simplifiées davantage en utilisant des méthodes de moyennisation. On propose aussi quelques résultats dans cette direction.

The main goal of this thesis was to develop new mathematical tools for the study of the stochastic phenomena in molecular biology. The mathematical models used to describe the stochastic behaviour of a system of biochemical reactions are based on Markov jumps processes. We propose hybrid approximations for multi-scale Markov jumps processes. These approximations are obtained by partial Kramers-Moyal expansion which is equivalent to the application of the central limit theorem to a sub-model. Thus, different approximations are obtained: piecewise deterministic processes and hybrid diffusions. These processes are simulated with suitable numerical algorithms. Furthermore, we show the weak convergence of Markov jump processes to piecewise deterministic processes with or without jumps in the continuous variables. The hybrid approximations can be simplified even more by averaging. We propose some results for this type of reduction of the process.