Effet dispersif pour les fluides anisotropes avec viscosité évanescente en rotation rapide

Anisotropic rotating fluids with small viscosity

• Auteur / Autrice : Van-Sang Ngo
• Direction : Marius-Gheorghe Paicu, Geneviève Raugel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Anisotropie

Magnétohydrodynamique

Mouvement rotatoire

Résumé

Cette thèse a essentiellement pour objet l'étude de fluides anisotropes en rotation rapide dans $$\RR^3$$, quand la viscosité tend vers zéro avec le nombre de Rossby $$\varepsilon > 0$$. On démontre en particulier des résultats d'existence globale pour des données arbitrairement grandes quand le nombre de Rossby $$\varepsilon$$ tend vers zéro. On met en lumière le rôle joué par l'effet dispersif. Dans la dernière partie de la thèse, on démontre l'analyticité de la solution globale du système des fluides de grade deux pour des données initiales analytiques petites. Dans une première partie, on considère les équations de Navier-Stokes avec terme de rotation $$\frac{u\wedge e_3}{\varepsilon}$$, avec viscosité verticale nulle et viscosité horizontale petite de l'ordre de $$\varepsilon^\alpha$$, avec $$\alpha > 0$$. On démontre l'existence globale de la solution forte pour des données initiales grandes, quand $$\varepsilon > 0$$ est suffisamment petit. Nous suivons une démarche utilisée par J. -Y. Chemin, B. Desjardins, I. Gallagher et E. Grenier, c'est-à-dire, nous décomposons le système de départ en un système linéaire avec donnée initiale plus régulière et un système non-linéaire avec donnée initiale petite. Pour le système linéaire, une grande partie du travail consiste à adapter les estimations de Strichartz et à trouver de nouvelles estimations qui tiennent compte de la viscosité petite. Pour le système non-linéaire, on utilise une méthode de ``bootstrap'', plus délicate que dans le cas classique, à cause de la petitesse de la viscosité. Toujours dans cette première partie, on considère les équations de fluides en rotation rapide dans le cas de données mal préparées. Pour ce cas, on montre que, si on ajoute un terme de ``friction'' aux équations considérées, on peut obtenir de bonnes estimations dissipatives et surtout de bonnes propriétés pour le système limite, ce qui permet de montrer l'existence globale de solutions fortes. Dans le dernier paragraphe de cette partie, on étudie une application importante de la méthode ci-dessus aux fluides en rotation rapide entre deux plaques infinies. Plus précisément, on montre que le résultat de E. Grenier et N. Masmoudi est toujours valable si on suppose que la viscosité est de l'ordre de $$\varepsilon^\alpha$$, $$\alpha > 0$$, ce qui permet de construire les couches limites d'Ekman dans ce cas-là. La deuxième partie est consacrée à l'étude des équations primitives dans $$\RR^3$$ avec, comme précédemment, viscosité verticale nulle et viscosité horizontale de taille $$\varepsilon^\alpha$$, $$\alpha > 0$$. Dans cette partie, nous développons la méthode de la première partie dans le cadre des équations primitives et nous cherchons à adapter au cas anisotrope les calculs faits par F. Charve dans le cas isotrope. Ceci nous permet de montrer l'existence globale de la solution forte du système des équations primitives pour des données grandes avec partie quasi-géostrophique nulle. Dans la troisième partie, nous étudions le système de la magnéto-hydrodynamique en rotation rapide dans $$\RR^3$$ dans le cas anisotrope. Nous prouvons d'abord des résultats d'existence locale (globale pour des données petites) et d'unicité de la solution forte. Avec des paramètres bien choisis, nous pouvons aussi appliquer la méthode développée dans les deux premières parties et montrer que le système de la magnéto-hydrodynamique est globalement bien posé pour des données grandes. Finalement, dans le dernière chapitre de la thèse, on considère le problème de propagation de régularité pour le système des fluides de grade deux sur le tore $$\TT^3$$. En utilisant une technique développée par J. -Y. Chemin, on montre que, si la donnée initiale est petite dans une classe de Gevrey appropriée, la solution du système de fluides de grade deux existe globalement en temps, reste dans une certaine classe de Gevrey pour tout temps positif et est donc analytique.

In this work, we study the global existence of strong solutions of anisotropic rotating fluid systems in the whole space $$\RR^3$$, in the case where the data are large and where there are no viscosity in the vertical direction and a small viscosity in the horizontal direction (of size $$\varepsilon^{\alpha}$$ with $$0 < \alpha \leq \alpha_0$$, for some $$\alpha_0 > 0$$). Using Strichartz-type estimates, we prove global existence of strong solutions when the Rossby number $$\varepsilon$$ is small enough. In the last chapter of this thesis, we prove the analyticity of the global solution of the system of fluids of second grade, for small analytic data. In the first part (third chapter), we consider the Navier-Stokes equations with rotating term $$\frac{u\wedge e_3}\varepsilon$$, with no vertical viscosity and with horizontal viscosity of size $$\varepsilon^\alpha$$, $$\alpha > 0$$. We prove the global existence of a unique, strong solution for large data, provided that $$\varepsilon$$ is small enough. Using a method of J. -Y. Chemin, B. Desjardins, I. Gallagher and E. Grenier, we decompose the system into two parts: a linear system with smooth data and a nonlinear system with small data. An important part of the work is to adapt Strichartz-type estimates and to find new estimates in order to deal with the small viscosities. For the nonlinear system, we use a ``bootstrap'' argument, more delicate than in the classic case because of small viscosities. Always in the third chapter, we consider the rotating fluids system in the ill-prepared case. By adding a ``friction'' term to the system, we prove that we could obtain good dissipative estimates and good properties for the limiting system, which imply global existence of strong solutions for large data. In the last section of this chapter, we study an application of the previously mentioned method for the case of rotating fluids between two infinite parallel plates. More precisely, we prove that the result of E. Grenier and N. Masmoudi also applies in the case where the viscosity is of size $$\varepsilon^\alpha$$, $$\alpha > 0$$. The fourth chapter is devoted to study the primitive equations in $$\RR^3$$, in the case where there is no vertical viscosity and where the horizontal viscosity is $$\varepsilon^\alpha$$, $$\alpha > 0$$. In this chapter, we apply the method using previously for the primitive equations and we adapt in the anisotropic case the calculation developed by F. Charve for the isotropic case. This enables us to prove the global existence of strong solutions for large data with no quasi-geostrophic part. In the fifth chapter, we study the anisotropic rotating magneto-hydrodynamic system. We first prove the local existence (global for small data) and uniqueness results of strong solutions. Then, with precise choices of parameters, we prove certain symmetries of the system, which allow us to use the previous method to prove global existence of strong solutions for large data. Finally, in the last chapter, we consider the problem of propagation of regularity for the system of fluids of second grade on the torus $$\TT^3$$. Using a technique recently developed by J. -Y. Chemin, we prove that, if the initial data is small in an appropriate Gevrey class, the solution of the system of fluids of second grade exists globally in time, stays in a certain Gevrey class for any positive time, and thus is analytic.