Dispersive equations and boundary value problems

Equations dispersives et problèmes aux limites

• Auteur / Autrice : Danela Oana Ivanovici
• Direction : Nicolas Burq
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations, Systèmes d'

Dispersion (mathématiques)

Inégalités (mathématiques)

Schrödinger, Équation de

Équations d'onde

Résumé

Ce travail porte sur les inegalites de strichartz pour les equations des ondes et de schrodinger sur des varietes a bord. Nous avons montre que les estimations de strichartz usuelles sont fausses pour l’equation des ondes sur un convexe strict, en raison des caustiques generees en temps petit pres du bord. Pour l’equation de schrodinger nous avons obtenu des estimations d’effet regularisant pres du bord, a l’exterieur d’une boule, ainsi qu’un resultat d’existence globale pour l’equation cubique a l’exterieur d’un nombre fini de boules satisfaisant l’hypothese d’ikawa. Nous avons ensuite obtenu des inegalites de strichartz optimales en temps semi-classique sur le billard de sinai et nous avons deduit de cela les memes estimations de strichartz que dans le cas plat pour l’equation de schrodinger classique. A l’exterieur d’un convexe strict. Dans le cas de l’exterieur d’un obstacle non-captant (mais pas convexe) nous avons montre que l’equation de schrodinger quintique est bien posee, ainsi qu’un phenomene de type scattering pour l’equation sous-critique, en developpant des estimations adequates a partir de resultats recents sur les projecteurs spectraux, qui se substituent efficacement dans ce cadre aux estimations de strichartz.

This thesis work concern strichartz type estimates for the wave and the schrodinger equations on manifolds with boundary. We show that the strichartz estimates for the wave equation inside a strictly convex obstacle suffer losses when compared to the usual euclidian case at least for a subset of the usual set of indices and this is due to the caustics generated in small time near the boundary. Dealing with the schrodinger equation outside a ball, we obtain a precise smoothing effect near the boundary, which yields global well-posedness for the cubic equation outside a finite union of balls satisfying ikawa’s assumption. Another result consists of establishing sharp strichartz estimates for the semi-classical schrodinger equation on the sinai billiard; combining this with the smoothing effect yields sharp strichartz estimates for the classical schrodinger equation outside a strictly convex obstacle. Finnaly, outside a non-trapping obstacle (but not convex) we prove a different set of scale-invariant estimates, combining spectral projectors estimates and smoothing effect, which yield local well-posedness for the energy-critical schrodinger equation and scattering for the sub-critical equation.