Contributions à l'étude des processus de Lévy et des processus fractionnaires via le calcul de Malliavin et applications en statistiques

Contributions to the study of Lévy processes and fractional processes via the Malliavin calculus and applications in statistics

• Auteur / Autrice : Khalifa Es-Sebaiy
• Direction : Ciprian A. Tudor, Youssef Ouknine
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Paris 1 en cotutelle avec Université Cadi Ayyad (Marrakech, Maroc)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mouvement brownien, Processus de

Lévy, Processus de

Malliavin, Calcul de

Résumé

Cette thèse se décompose en six chapitres plus ou moins distincts. Cependant, tous font appel au calcul de Malliavin, aux notions de processus gaussien et processus de Lévy, et à leur utilisation en statistique. Chacune des trois parties a fait l’objet de deux articles. Dans la première partie, nous établissons les théorèmes d’Itô et de Tanaka pour le mouvement brownien bi-factionnaire multidimensionnel. Ensuite nous étudions l’existence de la densité d’occupation pour certains processus en relation avec le mouvement brownien fractionnaire. Dans la deuxième partie, nous analysons, dans un premier temps, le comportement asymptotique de la variation cubique pour le processus de Rosenblatt. Dans un deuxième temps, nous construisons d’une part des estimateurs biaisés de type James-stein qui dominent, sous le risque quadratique usuel, l’estimateur du maximum de vraisemblance. La dernière partie présente deux travaux. Dans le premier, nous utilisons une approche menant à un calcul de Malliavin pour les processus de Lévy, qui a été développée récemment par Solé et al. [106], et nous étudions des processus anticipés de type intégrale d’Itô-skorohod (au sens de [111] sur l’espace de Lévy. Dans le deuxième, nous étudions le lien entre les processus stables et les processus auto-similaires, à travers des processus qui sont infiniment divisibles en temps.