Etude des courbes extrémales et optimales d'un lagrangien régulier avec contraintes non holonomes

The study of extremals and optimals curves of regular lagrangian with nonholonomic contraints

• Auteur / Autrice : Farah Farah
• Direction : Fernand Pelletier, Patrice Orro
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Chambéry
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques (Chambéry)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Pierre Françoise
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Marie Morvan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Riemann, Variétés de

Géodésiques (mathématiques)

Connexions (mathématiques)

Systèmes hamiltoniens

Lagrange, Spectre de

Systèmes non-holonomes

Mots clés libres

Contrainte non holonome

Optimale

Extrémale

Sous-pseudo-riemannienne

Résumé

Etant donné un Iagrangien sur un sous fibré du fibré tangent à une variété, Ie principe du maximum de Pontryagine permet de définir une notion naturelle de courbe extrémales de ce Iagrangien. Lorsque ce Iagrangien est régulier, nous adaptons à ce contexte, Ia dualité classique entre «formalisme Iagrangien» et «formalisme harmiltonien» via une transformation de Legendre. Enfin, nous construisons aussi une unique «pseudo-connexion» intrinsèque sur un fibré adéquat, dont les «géodésiques» sont Ies extrémales de ce Iagrangien. Nous donnons également des conditions suffisantes pour qu'une extrémale soit (Iocalement) optimale. Pour mieux illustrer ces résultats, nous traitons Ie cas d'une métrique «sous-pseudo-riemannien».

Given a lagrangian on a subbundle of the tangent bundle of a manifold, classical Pontryagine's maximum principle allows us to give a good definition of extremals curves of this lagrangian. For a regular lagrangian, we study the relation between «lagrangian formalism», and «hamiltonian formalism» through a Legendre transform. We can also construct an intrinsic «pseudo-connection» in a special subbundle, which «geodesics» are exactly the extremal curves of this lagrangian. We give sufficient conditions for such extremal curve to be (locally) minimizing for a lagrangian. Finally, we apply our results in the context of «sub-pseudo-riemannian metrics».