Comptage asymptotique et algorithmique d'extensions cubiques relatives

par Anna Morra

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Karim Belabas.

Soutenue le 07-12-2009

à Bordeaux 1 , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde) .

Le jury était composé de Henri Cohen, Jean-Marc Couveignes, C. Delaunay.

Les rapporteurs étaient J. Cremona, J. Klüners.

mots clés

• Comptage de discriminants
• Corps cubiques
• Réduction de Julia
• Paramétrisation de Taniguchi
• Théorie de Kummer
• Séries de Dirichlet
• Surfaces cubiques
• Galois, Théorie de

Résumé

Cette thèse traite du comptage d'extensions cubiques relatives. Dans le premier chapitre on traite un travail commun avec Henri Cohen. Soit k un corps de nombres. On donne une formule asymptotique pour le nombre de classes d'isomorphisme d'extensions cubiques L/k telles que la clôture galoisienne de L/k contienne une extension quadratique fixée K_2/k. L'outil principal est la théorie de Kummer. Dans le second chapitre, on suppose k un corps quadratique imaginaire (avec nombre de classes 1) et on décrit un algorithme pour énumérer toutes les classes d'isomorphisme d'extensions cubiques L/k jusqu'à une certaine borne X sur la norme du discriminant relatif.

Résumé

This thesis is about counting relative cubic extensions. In the first chapter we describe a joint work with Henri Cohen. Let k be a number field. We give an asymptotic formula for the number of isomorphism classes of cubic extensions L/k such that the Galois closure of L/k contains a fixed quadratic extension K_2/k. The main tool is Kummer theory. In the second chapter, we suppose k to be an imaginary quadratic number field (with class number 1) and we describe an algorithm for listing all isomorphism classes of cubic extensions L/k up to a bound X on the norm of the relative discriminant ideal.