Auteur / Autrice : | Émilien Tarquini |
Direction : | Alberto Farina |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Sciences. Mathématiques |
Date : | Soutenance en 2009 |
Etablissement(s) : | Amiens |
Mots clés
Résumé
Ce mémoire de thèse porte sur l'existence, la non-existence et l'étude des propriétés qualitatives des solutions de l'équation de Gross-Pitaevskii soumise ou non à un potentiel, ainsi que celles de différents systèmes faisant intervenir l'équation de Gross-Pitaevskii. L'équation de Gross-Pitaevskii est un modèle pour l'étude de la suprafluidité, les condensats de Bose-Einstein, la supraconductivité ou encore l'optique non linéaire. On s'intéresse dans un premier temps aux ondes progressives solutions de l'équation de Gross-Pitaevskii, et en particulier à l'existence d'une borne inférieure de l'énergie qui lui est associée. Ensuite on considère l'équation de Gross-Pitaevskii soumise à un potentiel répulsif. Pour cette équation, qui modélise l'écoulement d'un fluide autour d'un obstacle immobile, on étudie les ondes solitaires pour lesquelles on démontre l'existence d'une borne universelle optimale, des résultats d'existence et de non-existence. Nous étudions aussi le comportement asymptotique à l'infini des ondes d'énergie finie. Dans la troisième partie, on s'intéresse à différents systèmes faisant intervenir l'équation de Gross-Pitaevskii. En particulier divers résultats d'existence et non-existence pour les ondes solitaires (et leurs généralisations) sont prouvés.