Vorticity in spin systems with continuous symmetry
Vorticité dans des systèmes de spins à symétrie continue
Résumé
This Thesis concerns spin systems with continuous symmetry on a 2-D lattice. For XY model we consider second order phase transitions [Berezinskii, Kosterlitz and Thouless], related with vorticity of Gibbs states or order parameters (minimizers of free energy $\cal F$). Vortices are analogues with interfaces in Ising model; but internal continuous symmetry smears out phase transitions, excluding in 2-D spontaneous aimantation and allowing for a delay of correlation functions, even at low temperature. For Heisenberg model with Kac potential, vortices are replaced by instantons.
In Part I, we recall some properties of nearest neighbors interactions for the rotator, or its simplified version (Villain model). We also introduce the mean field model.
Kac's model, which relates various aspects of these models is presented in Part II. By homogenization, we essentially reduce properties of Gibbs measure in finite volume to these of $\cal F$, generalizing techniques used for the Ising model.
In Part III we analyze vorticity for Kac's model, and determine extrema for $\cal F$, with boundary conditions. We thus arrive at configurations similar to solutions of Ginzburg-Landau equations.
In Part IV, we turn to the quantum case, introducing "vorticity matrices" at inverse temperature $\beta$, and compute their "non commutative degree". Thus we obtain for the XY model with spin 1/2, configurations as those we met in the classical case.
In Part I, we recall some properties of nearest neighbors interactions for the rotator, or its simplified version (Villain model). We also introduce the mean field model.
Kac's model, which relates various aspects of these models is presented in Part II. By homogenization, we essentially reduce properties of Gibbs measure in finite volume to these of $\cal F$, generalizing techniques used for the Ising model.
In Part III we analyze vorticity for Kac's model, and determine extrema for $\cal F$, with boundary conditions. We thus arrive at configurations similar to solutions of Ginzburg-Landau equations.
In Part IV, we turn to the quantum case, introducing "vorticity matrices" at inverse temperature $\beta$, and compute their "non commutative degree". Thus we obtain for the XY model with spin 1/2, configurations as those we met in the classical case.
Cette Thèse est consacrée à l'étude des systèmes de spins à symétrie continue sur un réseau 2-D. Pour le modèle XY, on considère les transitions de phase de seconde espèce [Berezinskii, Kosterlitz et Thouless], en liaison avec la vorticité des états de Gibbs ou des paramètres d'ordre (minimiseurs de l'énergie libre $\cal F$). Les vortex présentent une analogie avec les interfaces dans le modèle d'Ising ; la symétrie continue du système a toutefois un effet régularisant sur les transitions de phase, excluant en 2-D toute aimantation spontanée, même à basse température, ce qui se traduit par une décroissance des fonctions de corrélation. Pour le modèle d'Heisenberg avec potentiel de Kac, les vortex sont remplacés par des instantons.
Dans le Chapître 1, on rappelle quelques propriétés de l'interaction entre plus proches voisins, pour le rotateur, ou sa version simplifiée appelée modèle de Villain. On introduit aussi le modèle du champ moyen.
Le modèle de Kac, qui partage certains aspects de ces deux modèles, est étudié au Chapître 2. Par un procédé d'homogénéisation, on ramène essentiellement l'étude de la mesure de Gibbs en volume fini à celle de la fonctionnelle énergie libre $\cal F$, généralisant des techniques utilisées dans le modèle d'Ising.
Les propriétés de vorticité du modèle de Kac sont analysées dans le Chapître 3, où l'on détermine les extrema de $\cal F$, avec conditions limite. On met ainsi en évidence des configurations très similaires à celles des solutions des équations de Ginzburg-Landau.
Dans le Chapître 4 on passe au cas quantique, en introduisant la notion de "matrice de vorticité" à température inverse $\beta$, dont on calcule le "degré non-commutatif". Il apparaît ainsi, pour le modèle XY de spin 1/2, des configurations de vorticité analogues à celles rencontrées dans le cas classique.
Dans le Chapître 1, on rappelle quelques propriétés de l'interaction entre plus proches voisins, pour le rotateur, ou sa version simplifiée appelée modèle de Villain. On introduit aussi le modèle du champ moyen.
Le modèle de Kac, qui partage certains aspects de ces deux modèles, est étudié au Chapître 2. Par un procédé d'homogénéisation, on ramène essentiellement l'étude de la mesure de Gibbs en volume fini à celle de la fonctionnelle énergie libre $\cal F$, généralisant des techniques utilisées dans le modèle d'Ising.
Les propriétés de vorticité du modèle de Kac sont analysées dans le Chapître 3, où l'on détermine les extrema de $\cal F$, avec conditions limite. On met ainsi en évidence des configurations très similaires à celles des solutions des équations de Ginzburg-Landau.
Dans le Chapître 4 on passe au cas quantique, en introduisant la notion de "matrice de vorticité" à température inverse $\beta$, dont on calcule le "degré non-commutatif". Il apparaît ainsi, pour le modèle XY de spin 1/2, des configurations de vorticité analogues à celles rencontrées dans le cas classique.
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