Analyse en ondelettes et par paquets d'ondelettes de processus aléatoires stationnaires, et application à l'estimation non-paramétrique

Wavelet and wavelet packet decompositions of stationary random processes, and applications to non-parametric estimation

• Auteur / Autrice : Abdourrahmane Mahamane Atto
• Direction : Alain Hillion
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Télécom Bretagne

Mots clés

Mots clés contrôlés

Estimation de paramètres

Processus stochastiques

Ondelettes

Résumé

Les transformées en ondelettes et par paquets d'ondelettes se sont largement imposées dans l'analyse et la résolution de problèmes liés aux sciences et techniques de l'ingénierie. Cet essor est dû principalement à deux propriétés spécifiques qui résultent des décompositions sur les bases d'ondelettes : la parcimonie de représentation pour les signaux réguliers et réguliers par morceaux; la tendance à transformer un processus aléatoire stationnaire en séquences de processus Gaussiens décorrélés. Ces deux propriétés sont observées expérimentalement et justifient de nombreux traitements effectués sur les coefficients obtenus par projection sur les bases d'ondelettes. Cependant, les résultats théoriques précisant la corrélation et la distribution asymptotiques des coefficients de paquets d'ondelettes sont de natures significativement différentes. La première partie de cette thèse propose une analyse de ces résultats théoriques, met en lumière la complexité du problème posé, et montre les résultats qu'on l'on peut obtenir à partir des critères de convergence. Les problèmes traités concernent à la fois les fonctions d'autocorrélation et les distributions asymptotiques des coefficients de paquets d'ondelettes de processus stationnaires. Les résultats annoncés conduisent à des schémas plus réalistes qui sont, de surcroît, soutenus par des résultats expérimentaux. La seconde partie de cette thèse analyse les propriétés de parcimonie des transformées à base d'ondelettes et propose l'utilisation de seuils associés à une mesure de parcimonie. Ces seuils établissent un lien entre la détection à l'estimation non-paramétrique, lien que nous résumons par la formule bien détecter pour mieux estimer. Ces seuils unifient les seuils minimax et universels, qui correspondent ainsi à des seuils de détection associés à des degrés différents de parcimonie. D'autre part, cette thèse unifie également les fonctions de seuillage de base (seuillage dur et doux) de l'estimation non-paramétrique par l'introduction d'une famille de fonctions à atténuation de type sigmoïde : les fonctions SSBS. Les fonctions de seuillage dur et doux sont alors des fonctions SSBS dégénérées, les fonctions SSBS non-dégénérées étant des fonctions régulières et à degré d'atténuation flexible. Les performances de l'estimation non-paramétrique utilisant les seuils de détection et les fonctions SSBS sont également analysées, tant du point de vue de l'erreur quadratique moyenne que de celui de la qualité visuelle en débruitage d'images. .

Wavelets and wavelet packet transforms are widely used for analyzing and solving problems related to science and engineering techniques. This growth is mainly due to two specific properties that result from decompositions on wavelet bases: the sparse representation of regular and piecewise regular signals, the tendency to transform a stationary random process into quasi decorrelated and Gaussian sequences. Both properties are observed experimentally and justify many treatments carried out on the coefficients obtained by projection on wavelet bases. However, the theoretical results describing the asymptotic autocorrelations and distributions associated with wavelet packet coefficients are not always of the same nature. The first part of this thesis provides these results. The results obtained thus lead to more realistic schemes for the asymptotic autocorrelation functions and distributions of wavelet packet coefficients and are supported by numerous experimental results. The second part of the thesis analyses sparsity properties of wavelet bases and proposes the use of sparse-descriptive based thresholds. These thresholds establish a link between non-parametric detection and estimation in the sense that good detection leads to better estimation. The detection thresholds obtained also unify the minimax and universal thresholds in the sense that these thresholds correspond to detection thresholds associated with different sparsity degrees. On the other hand, this thesis also unifies basic soft and hard thresholding functions by introducing a new family of smooth sigmoid based shrinkage functions: the SSBS functions. In fact, the hard and soft thresholding functions are degenerated SSBS functions, in contrast to non-degenerated SSBS functions which are smooth with very flexible attenuation degrees. In addition, the performance of the non-parametric estimation using detection thresholds and SSBS functions is analyzed for natural image denoising, via the mean square error and visual quality assessment.