Beta-entiers et quasicristaux

par Lubomira Balkova

Thèse de doctorat en Physique théorique

Sous la direction de Jean-Pierre Gazeau et de Zuzana Masáková.

Soutenue en 2008

à Paris 7 .


  • Résumé

    L'ensemble de bêta-entiers représente une généralisation de l'ensemble des entiers ordinaires. Les bêta-entiers consistent des nombres réels dont le développement en base bêta, obtenu par l'algorithme glouton, est un polynôme en bêta, autrement dit, la partie fractionnaire du développement en base bêta est nulle. Comme toute généralisation appropriée, les bêta-entiers coïncident avec les entiers pour une base bêta entière. Par contre, la situation change considérablement si bêta n'est pas entier. Dans ce cas, l'ensemble de bêta-entiers n'est plus périodique et ne garde les propriétés des entiers que partiellement: Les bêta-entiers ne contiennent pas de points d'accumulation, les distances entre les bêta-entiers consécutifs sont bornées par 1, l'ensemble de bêta-entiers est autosimilaire - bêta étant un facteur d'autosimilarité - l'ensemble de bêta-entiers n'est pas invariant sous la translation. Il y a plusieurs domaines d'application de cette alternative aux entiers ordinaires: modélisation mathématique des quasicristaux, générateurs de nombres aléatoires, analyse en ondelettes non-standard ou théorie des opérateurs de Schroedinger discrets avec potentiels apériodiques. Ce travail contient des résultats originaux dans les trois domaines suivants: •combinatoire des mots infinis associés aux bêta-entier; Arithmétique des bêta-entiers; Application des bêta-entiers en physique.

  • Titre traduit

    Beta-integers and quasicrystals


  • Pas de résumé disponible.

  • Titre traduit

    = Beta-integers and quasicrystals


  • Résumé

    The set of beta-integers is a generalization of the set of ordinary integers. Beta-integers consist of real numbers which are polynomial in beta when expanded in the base beta using the well-known greedy algorithm. As every suitable generalization, beta-integers coincide with integers for beta being an integer base. Nevertheless, the situation changes significantly if beta is not an integer. In this case, the set of beta-integers is not periodic any more and it conserves only partially properties of integers: it has no accumulation points, the distances between consecutive beta-integers are bounded by 1, the set of beta-integers is self-similar with self-similarity factor beta, and it is not invariant under translation. There are several fields of application of this interesting alternative of ordinary integers: modeling of quasicrystals, random number generators, non-standard wavelet analysis, or theory of discrete Schroedinger operators with aperiodic potentials. This work contains original results in the three following domains: Combinatorics on words with emphfasis on infinite words coding beta-integers; Arithmetics of beta-integers; Application of beta-integers in physics

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Informations

  • Détails : 1 vol. (163 f.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : 106 réf.

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  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2008) 040

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  • Cote : 2008PA077040
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