Capitulation des noyaux sauvages étales

Capitulation for etale wild kernels

• Auteur / Autrice : Romain Validire
• Direction : Jean-François Jaulent, Abbas Movahhedi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Limoges
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Limoges. Faculté des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes libres

Noyaux (analyse fonctionnelle)

Cohomologie

K-théorie

Théorie d'Iwasawa

Théorie des nombres algébriques

Mots clés libres

Cohomologie étale

Noyaux sauvages

Capitulation

Pro-p-groupe libre

Résumé

Ce travail de thèse porte sur deux problèmes distincts, tous deux en lien avec le comportement galoisien de certains noyaux de localisation en cohomologie étale : les noyaux sauvages étales. Fixons un nombre premier p et F∞ une Zp-extension d'un corps de nombres F. La structure de groupe abélien du p-groupe des classes des étages de F∞/F est asymptotiquement bien connue : nous montrons, au moyen de la théorie d'Iwasawa des Zp-extensions, un analogue de ce résultat en K-théorie supérieure. Dans un deuxième temps, nous étudions le groupe de Galois G'∞ sur F∞ de la pro-p-extension, non ramifiée, p-décomposée maximale de F∞, lorsque F∞ est la Zp-extension cyclotomique de F. Après avoir établi un lien entre la structure de G'∞ et le comportement galoisien des noyaux sauvages étales, nous donnons divers critères effectifs de non pro-p-liberté pour G'∞.

This thesis deals with two distinct issues, both related with the Galois behavior of some localisation kernels in étale cohomology : the étale wild kernels. Let p be a prime number and F∞ be a Zp-extension of a number field F. The abelian group stucture of the p-class group of the large layers in F∞/F is well-understood : using Iwasawa's theory of Zp-extensions, we generalize this result to the even K-groups of rings of integers. The second part of the thesis is devoted to the study of the Galois group G'∞ over F∞ of the maximal unramified, p-decomposed, pro-p-extension of F∞, when F∞ is the cyclotomic Zp-extension of F. We highlight a link between the structure of G'∞ and the Galois behavior of the wild kernels. Then we give various explicit criterions to show that G'∞ is not a free pro-p-group.