Time-frequency regions of support for an unknown signal with additive gaussian noise
Support temps-fréquence d'un signal inconnu en présence de bruit additif gaussien
Résumé
The concern of the studies reported in this manuscript is the localization of a signal in the time-frequency plane. More precisely, our aim is to specify the time-frequency support for a non stationary unknown deterministic signal of interest embedded in a centred Gaussian noise with an unknown autocorrelation function. The obtainable time-frequency support is defined as a set of time-frequency locations for which the energy provided by the signal of interest is "at least greater" than the energy provided by the noise. This definition highlights two elements that will need to be specified : first, what is the energy provided by the noise? and second, what does "at least greater" means? All over the manuscript, the spectrogram is used to represent the signals in the time-frequency plane.
In this work, this problem is formulated as a binary hypothesis test conducted on every time-frequency coefficients. According to an appropriate detection criterion, the detection threshold has to be determined according to the probability density function of the spectrogram coefficients on a first hand and according to the power spectral density of the noise on a second hand.
The first study is thus dedicated to the statistical behaviour of the spectrogram coefficients. Specifically, the case of a non white and non stationary noise is focused on.
The second study relates the estimation of the noise power spectral density. Based on the statistical behaviour of the minimal time-frequency coefficients, an unbiaised estimator is proposed and evaluated.
As a third study, the solution for the detection problem that obeys the maximum likelihood criterion is formulated. From this study, the local (in a time-frequency meaning) signal to noise ratio appears as a natural specification for the "at least greater" condition carried by the definition of the obtainable time-frequency support.
Finally, these studies lead to an algorithm that specify the time-frequency support of a signal, composed by the time-frequency regions on which the local signal to noise ratio is greater than an a priori chosen value.
In this work, this problem is formulated as a binary hypothesis test conducted on every time-frequency coefficients. According to an appropriate detection criterion, the detection threshold has to be determined according to the probability density function of the spectrogram coefficients on a first hand and according to the power spectral density of the noise on a second hand.
The first study is thus dedicated to the statistical behaviour of the spectrogram coefficients. Specifically, the case of a non white and non stationary noise is focused on.
The second study relates the estimation of the noise power spectral density. Based on the statistical behaviour of the minimal time-frequency coefficients, an unbiaised estimator is proposed and evaluated.
As a third study, the solution for the detection problem that obeys the maximum likelihood criterion is formulated. From this study, the local (in a time-frequency meaning) signal to noise ratio appears as a natural specification for the "at least greater" condition carried by the definition of the obtainable time-frequency support.
Finally, these studies lead to an algorithm that specify the time-frequency support of a signal, composed by the time-frequency regions on which the local signal to noise ratio is greater than an a priori chosen value.
Le travail présenté dans ce mémoire est dédié à la localisation d'un signal dans le plan temps-fréquence. Plus précisément, nous proposons de déterminer le support temps-fréquence d'un signal d'intérêt, non stationnaire, déterministe et inconnu, noyé dans un bruit gaussien additif, centré et de fonction d'autocorrélation inconnue. Le support temps-fréquence accessible d'un signal est défini comme l'ensemble des points temps-fréquence pour lesquels le signal d'intérêt admet une énergie au moins supérieure à celle du bruit. De cette définition naîssent deux éléments qu'il est nécessaire de préciser : quel est l'énergie du bruit d'une part et que signifie "au moins supérieure" d'autre part? Dans tout ce travail, le spectrogramme est choisi pour représenter les signaux dans le plan temps-fréquence.
Nous choisissons de résoudre ce problème de localisation au moyen d'un test binaire d'hypothèses, formulé en chaque point du plan temps-fréquence. Le seuil de détection correspondant à ce test doit alors être déterminé : d'après les lois de probabilité des coefficients du spectrogramme d'une part, en lien avec la puissance du bruit d'autre part et, enfin, selon un critère de détection approprié.
La première étude concerne le comportement statistique des coefficients du spectrogramme. Dans le contexte d'un bruit non blanc et non stationnaire, la densité de probabilité des observations est ainsi formulée.
La densité specrale de puissance du bruit apparaît naturellement comme l'un des paramètres de cette densité de probabilité. Dans une seconde étude, une méthode d'estimation de ce bruit est proposée. Elle se base sur le comportement statistique des plus petits coefficients du spectrogramme.
Cet ensemble de connaissances nous permet finalement de résoudre le test d'hypothèses dont la solution naturelle au sens du maximum de vraisemblance fait apparaître le rapport d'énergie entre le signal et le bruit en chaque point du plan temps-fréquence. Ce rapport signal sur bruit local permet dès lors de préciser la condition "au moins supérieure" relative au support temps-fréquence accessible du signal.
L'algorithme de localisation temps-fréquence qui résulte de ce travail permet finalement de retenir le support temps-fréquence du signal d'intérêt sur l'ensemble duquel le rapport signal sur bruit est supérieur à une valeur choisie a priori.
Nous choisissons de résoudre ce problème de localisation au moyen d'un test binaire d'hypothèses, formulé en chaque point du plan temps-fréquence. Le seuil de détection correspondant à ce test doit alors être déterminé : d'après les lois de probabilité des coefficients du spectrogramme d'une part, en lien avec la puissance du bruit d'autre part et, enfin, selon un critère de détection approprié.
La première étude concerne le comportement statistique des coefficients du spectrogramme. Dans le contexte d'un bruit non blanc et non stationnaire, la densité de probabilité des observations est ainsi formulée.
La densité specrale de puissance du bruit apparaît naturellement comme l'un des paramètres de cette densité de probabilité. Dans une seconde étude, une méthode d'estimation de ce bruit est proposée. Elle se base sur le comportement statistique des plus petits coefficients du spectrogramme.
Cet ensemble de connaissances nous permet finalement de résoudre le test d'hypothèses dont la solution naturelle au sens du maximum de vraisemblance fait apparaître le rapport d'énergie entre le signal et le bruit en chaque point du plan temps-fréquence. Ce rapport signal sur bruit local permet dès lors de préciser la condition "au moins supérieure" relative au support temps-fréquence accessible du signal.
L'algorithme de localisation temps-fréquence qui résulte de ce travail permet finalement de retenir le support temps-fréquence du signal d'intérêt sur l'ensemble duquel le rapport signal sur bruit est supérieur à une valeur choisie a priori.