[Phi, Gamma]-modules et loi explicite de réciprocité

(phi, Gamma)-modules and explicit reciprocity law

• Auteur / Autrice : Floric Tavares Ribeiro
• Direction : Denis Benois
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Besançon
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Franche-Comté. UFR des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mathématiques

Théorèmes de réciprocité

Résumé

Cette thèse participe de la théorie des représentations p-adiques, et plus particulièrement de la théorie de Fontaine. On construit un (phi,Gamma)-module adapté à une extension métabélienne d'un corps local, puis on fournit des généralisations de certains outils usuels associés à ce (phi,Gamma)-module tel qu'un complexe calculant la cohomologie de la représentation. On établit ensuite des formules explicites du dictionnaire entre le monde des représentations et celui des (phi,Gamma)-modules pour le complexe de Herr, le cup-produit ou l'application de Kummer. La seconde partie de ce travail est dévolue à la preuve de la loi de réciprocité de Brückner- Vostokov pour un groupe formel. On combine pour cela des méthodes relevant des (phi,Gamma)-modules à l'aide des résultats de la première partie et des techniques spécifiques introduites par Abrashkin à travers une interprétation cohomologique de ses travaux. Une preuve de la loi de réciprocité est ainsi obtenue, libre de toute assertion non naturelle sur l'appartenance de racines de l'unité au corps de base.

The framework of this thesis is the theory of p-adic representations, in particular Fontaine's theory. A (phi,Gamma)-module adapted to a metabelian extension of a local field is built, then generalizations of some usual tools associated with this (phi,Gamma)-module are given, such as a complex calculating the cohomology of the representation. Furthermore, we establish explicit formulas of the dictionary between the world of representations and the one of (phi,Gamma )-modules, for the Herr complex, the cup-product or Kummer's map. The second part of this work is devoted to the proof of the Brückner-Vostokov reciprocity law for a formaI group. Combining methods of (phi,Gamma)-modules and specific techniques introduced by Abrashkin with a cohomological interpretation of his work, we give a proof of the reciprocity law free from the non natural assumption that roots of unit y belong to the base field.