Propriétés d'ubiquité en analyse multifractale et séries aléatoires d'ondelettes à coefficients corrélés

Ubiquity properties in multifractal analysis and random wavelet series with correlated coefficients

• Auteur / Autrice : Arnaud Durand
• Direction : Stéphane Jaffard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Paris 12

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lévy, Processus de

Hausdorff, Mesures de

Ondelettes

Analyse fractale

Multifractales

Résumé

L'objectif principal de cette thèse est la description des propriétés de taille et de grande intersection des ensembles apparaissant lors de l'analyse multifractale de certains processus stochastiques. Dans ce but, nous introduisons de nouvelles classes d'ensembles à grande intersection associée à des fonctions de jauge générales et nous prouvons, à l'aide de techniques d'ubiquité, des résultats d'appartenance à ces classes pour certains ensemble lim sup. Cela nous permet en particulier de décrire exhaustivement les propriétés de taille et de grande intersection des ensembles issus de la théorie classique de l'approximation diophantienne comme l'ensemble des points bien approchables par des rationnels ou l'ensemble des nombres de Liouville. Nous fournissons aussi des résultats du même type lorsque les rationnels intervenant dans l'approximation doivent vérifier certaines conditions, comme les conditions de Besicovitch. Nos techniques d'ubiquité nous permettent en outre de décrire complètement les propriétés de taille et de grande intersection des ensembles intervenant dans l'analyse multifractale des processus de Lévy et d'un modèle de séries lacunaires d'ondelettes. Nous obtenons des résultats similaires pour un nouveau modèle de séries aléatoires d'ondelettes dont les coefficients sont corrélés via une chaîne de Markov indexée par un arbre. Nous déterminons en particulier la loi du spectre de singularités de ce modèle. Pour mener cette étude, nous nous intéressons à une large classe de fractals aléatoires généralisant les constructions récursives aléatoires précédemment introduites par de nombreux auteurs.

The main purpose of this thesis is the description of the size and large intersection properties of sets arising in the multifractal analysis of certain random processes. To this end, we introduce new classes of sets with large intersections which are associated with general gauge functions and we prove, using ubiquity techniques, that these classes contain certain lim sup sets. In particular, this enables us to fully describe the size and large intersection properties of sets issued from the classical theory of Diophantine approximation, as the set of points that are well-approximable by rationals or the set of Liouville numbers. We also supply results of the same type when the rational approximates are required to enjoy certain conditions, as the Besicovitch conditions. In addition, our ubiquity techniques allow us to completely describe the size and large intersection properties of the sets coming into play in the multifractal analysis of Lévy processes or certain lacunary wavelet series. We obtain similar results for a new model of random wavelet series whose coefficients are correlated through a tree-indexed Markov chain. In particular, we determine the law of the spectrum of singularities of this model. To perform this study, we analyze a large class of random fractals which generalize the random recursive constructions previously introduced by many authors.