Persistance des stratifications de laminations normalement dilatées

Persistence of stratifications of normally expanded laminations

• Auteur / Autrice : Pierre Berger
• Direction : Jean-Christophe Yoccoz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Anneaux d'endomorphismes

Systèmes dynamiques hyperboliques

Mots clés libres

Axiome A

Persistence de laminations

Product Dynamics

Résumé

Ce travail s’inscrit dans le prolongement de celui de Hirsch-Pugh-Shub (HPS) sur la persistance des laminations normalement hyperboliques, ainsi que celui de Robinson sur la stabilité structurelle des difféomorphismes Axiome A vérifiant la condition de transversalité forte (ATF). On généralise ces théorèmes en introduisant un objet géométrique : les stratifications de laminations. Il s’agit d’une stratification, dont les strates sont des laminations. On propose alors un théorème assurant la persistance de stratifications dont chaque strate est une lamination normalement dilatée. La dynamique est un C1-endomorphisme d’une variété (qui n’est donc pas forcément inversible). La persistance signifie que pour des perturbations C1 de la dynamique préservant la stratification, il existe une stratification proche préservée par la perturbation. Ce théorème dans sa version élémentaire (cas où la stratification est formée d’une seule strate) donne la persistance des laminations normalement dilatées par un endomorphisme, généralisant ainsi le théorème de HPS. Une autre application de ce théorème est la persistance des variétés à bord ou à coins normalement dilatés. Enfin, un difféomorphisme ATF possède deux stratifications de laminations canoniques : celle dont les strates sont les ensembles stables (resp. Instables) de ses pièces basiques. Ainsi, notre théorème implique la persistance des laminations, dont les feuilles sont les fibres d’un fibré sur une surface, préservées par un difféomorphisme, tel que la dynamique induite sur la base soit ATF et que la lamination formée par les fibres qui rencontrent l’ensemble non-errant est normalement hyperbolique.

This manuscript complements the Hirsch-Pugh-Shub (HPS) theory on persistence of normally hyperbolic laminations and the theorem of Robinson on the structural stability of diffeomorphisms that satisfy Axiom A and the strong transversality condition (SA). We generalize these results by introducing a geometric object: the stratification of laminations. It is a stratification whose strata are laminations. We show a theorem which implies the persistence of some stratifications whose strata are normally expanded. The dynamics is a C1-endomorphism of a manifold (which is possibly not invertible). The persistence means that for any C1-perturbation of the dynamics, there exists a close stratification preserved by the perturbation. This theorem in its elementary statement (the stratification is constituted by a unique stratum) gives the persistence of normally expanded laminations by endomorphisms, generalizing HPS theory. Another application of this theorem is the persistence, as stratifications, of submanifolds with boundary or corners normally expanded. Moreover, we remark that SA diffeomorphism gives two canonical stratifications: the stratification whose strata are the (un)stable sets of basic pieces of the spectral decomposition. Thus, our Mains theorem implies the persistence of laminations whose leaves are the fibers of a bundle over a surface, preserved by an diffeomorphism and such that the dynamics induced on the bases is SA and such that the lamination, whose leaves are the fibers which intersect the non-wandering set, is normally hyperbolic.