Quantification du second ordre en sémentique des jeux : application aux isomorphismes de types

Modelling and Analyzinq Systems Bioloqy Using Process Algebra

• Auteur / Autrice : Joachim Guilhem de Lataillade
• Direction : Pierre-Louis Curien
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Isomorphismes (mathématiques)

Isomorphisme de Curry-Howard

Sémantique selon la théorie des jeux

Résumé

La sémantique des jeux offre un cadre souple et précis pour l'interprétation des langages de programmation. Cette thèse l'illustre à travers d'une part l'étude de la notion de polymorphisme et son pendant logique : la quantification du second ordre, et d'autre part la caractérisation de | certaines propriétés syntaxiques via les modèles de jeux. Le polymorphisme est d'abord envisagé sous sa forme la plus usuelle, le système F à la Church. On en propose un nouveau modèle de jeux, complet, inspiré de travaux antérieurs mais dans lequel il sera cette fois possible d'effectuer des calculs. La question syntaxique de la caractérisation des isomorphismes de typas peut alors être résolue à l'intérieur même de ce modèle, en prouvant l'invariance par isomorphisme d'une structure appelée hyperforêt. Cette approche sémantique permet de retrouver un résultat dû à Roberto Di Cosmo. Une autre variante de la logique du second ordre, le système F à la Curry, est étudiée et modélisée de manière partielle mais suffisamment précise pour permettre là encore la caractérisation des isomorphismes de types par un invariant géométrique. Le système équationnel correspondant enrichit celui des isomorphismes du système F à la. Church d'une nouvelle équation, non triviale. Une extension à la logique classique des résultats obtenus pour te système F à Sa Church est proposée à travers la construction dans les jeux d'une hyperdoctrine de contrôle, structure catégorique adaptée à la logique du second ordre.

Game semantics is a flexible and precise framework for interpreting programming languages. The present dissertation illustrates this fact in two ways : first by studying polymorphism and its logical counterpart : second-order quantification, and second by caracterising sorne syntactic properties via game models. Polymorphism is first considered in its most usual form, Church- style System F, We propose a new, complete, game model, inspired by previous works but in which we will be able to do effective calculations. The syntactic question of characterising type isomorphisms can then be solved inside this model, by proving the invariance through isomorphism of some structure called hyperforest. This semantic approach allows to retrieve a result by Roberto Di Cosmo, Another variant of second- order logic, namely Curry- style System F, is studied and modellsed, partially but with enough precision to give once again a characterisation of type isomorphisms through a geometric invariant. The corresponding equationnal system is an enrichment of that of Church-style isomorphisms by a news non-trivial, equation. An extension to classical logic of the results for Church-style System F is proposed, through theconstruction of a game model which results in a control hyperdoctrine, ie a categorical structuresuitable for second- order classical logic.