Solving systems of distance equations with uncertainties

• Auteur / Autrice : Carlos Grandón
• Direction : Bertrand Neveu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Programmation par contraintes

Calcul sur des intervalles

Incertitude (théorie de l'information)

Équations, Systèmes d'

Résumé

Nous nous intéressons dans le cadre de cette thèse à une classe particulière de problèmes qui apparaissent fréquemment en robotique (et dans beaucoup d'autres domaines comme la chimie, la biologie moléculaire, la conception assistée par ordinateur (CAO), et l'aéronautique). Ces sont les systèmes d'équations de distance avec des incertitudes. Nous considérons les valeurs entachées d'incertitudes comme des valeurs qui ne sont pas exactement connues mais que l'on peut considérer comme étant dans des limites bien définies. Ces valeurs sont représentées par des intervalles, et représentent fréquemment les mesures de quantités physiques. Dans les modèles, elles peuvent apparaître sous forme de paramètres existentiellement quantifiées. Résoudre un problème avec des incertitudes signifie trouver l'ensemble des points solutions en considérant les inexactitudes des données, afin d'obtenir des réponses certifiées (dans le sens où aucune solution n'est négligée). Le but des travaux contenus dans cette thèse est de résoudre des systèmes d'équations de distance avec des incertitudes dans leurs paramètres de la manière la plus précise possible, en combinant différentes techniques d'analyse par intervalles et de programmation par contraintes. Une approximation fréquemment utilisée pour gérer de tels problèmes est de remplacer les paramètres mal connus par des valeurs réelles, et ainsi ne pas prendre en compte les incertitudes. Nous montrons que cette approche n'est pas adaptée, surtout quand les solutions doivent être certifiées (par exemple, pour des raisons de sécurité pour un robot chirurgical). Dans une première phase, nous proposons un algorithme spécifique de type Branch and Prune combiné avec une bissection conditionnelle qui permet de calculer une approximation grossière des différents ensembles contenant des continuums de solutions pour un problème donné. Comme la donnée d'une approximation grossière (une boîte) de chaque continuum de solutions n'est pas suffisante dans tous les cas, il est parfois nécessaire de calculer une approximation plus précise décrivant chaque ensemble continu de valeurs admissibles. Nous montrons que pour calculer cette approximation, il faut considérer un test de boîte intérieure, afin de détecter des parties de l'espace contenant seulement des solutions au problème. L'utilisation d'un tel test réduit la quantité de boîtes produites, et fournit plus d'informations µa propos des différentes zones solutions. Nous proposons et comparons quelques tests adaptés pour les équations de distance avec incertitudes. Etant donné un point solution appartenant µa un continuum de solutions, on peut s'intéresser µa une boîte autour de ce point qui soit totalement incluse dans le continuum de solutions (pour des raisons de tolérance, par exemple). Pour cela nous proposons une stratégie de construction d'une telle boîte basée sur des résultats théoriques sur les intervalles modaux combinés avec une technique connue de programmation par contraintes appelée projection. Finalement, nous illustrons les techniques développées dans cette thèse sur un problème de robotique qui consiste µa calculer la position et l'orientation d'un robot parallèle.

In this thesis we are interested in a particular class of problems which frequently appear in robotics (and many other areas as chemistry, molecular biology, Computer-Aided Design (CAD), and aeronautics). They are systems of distance equations with uncertainties. Uncertain values mean values which are not exactly determined but are bounded by well-known limits. These values are represented as intervals, and frequently come from measurements. In a model, these values appear as existentially quantified parameters. Solving such a problem with uncertainties means to find a set of solutions taking into account these inaccuracies in order to obtain certified answers (in the way that no solution is lost). The aim of the works contained in this thesis is to solve systems of distance equations with uncertainties in their parameters as accurately as possible, combining techniques from Constraint Programming and Interval Analysis communities. A common approximation for the solutions for these types of problems is to replace parameters with interval values by real numbers, and to solve the problem without considering the inaccuracies. We show that this approximation is not convenient, especially when certified solutions are required (for example for safely reasons for a Surgical Robot). In a first phase, we propose a special Branch and Prune algorithm with conditional bisection which is able to compute a rough approximation of each continuum of solutions for a given problem. A rough approximation (a box) is not enough in all the cases, thus a sharp approximation (a set of boxes) describing continuous solution sets is often required. We show that this approximation must consider an inner box test in order to detect large parts of the search space containing only solutions to the problem. Using inner box tests not only reduces the number of generated boxes but also provides more information about the geometry of the solutions set. We propose and compare various inner box tests for distance equations with uncertainties. When a single solution point belonging to a continuum of solutions is given, an inner box around this point and totally included within the continuum of solutions may be very interesting for tolerance issues. For this reason we propose a strategy for building such a box based on theoretical results of Modal Interval Analysis combined with a well-known technique of Constraint Programming called projection. Finally, the developed techniques are illustrated on a real problem of Robotics in which we solve the direct kinematics of a special class of parallel robot.