Etude asymptotique des algorithmes stochastiques et calcul des prix des options parisiennes

Asymptotic properties of stochastic algorithms and pricing of parisian options

• Auteur / Autrice : Jérôme Lelong
• Direction : Bernard Lapeyre
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algorithmes

Transformation de Laplace

Approximation stochastique

Mots clés libres

Options parisiennes

Inversion numérique

Résumé

Cette thèse traite de deux sujets indépendants. La première partie est consacrée à l’étude des algorithmes stochastiques. Dans un premier chapitre introductif, je présente l’algorithme de dans un parallèle avec l’algorithme de Newton pour l’optimisation déterministe. Ces quelques rappels permettent alors d’introduire les algorithmes stochastiques aléatoirement tronqués de qui sont au coeur de cette thèse. La première étude de cet algorithme concerne sa convergence presque sûre qui est parfois établie sous des hypothèses assez changeantes. Ce premier chapitre est l’occasion de clarifier les hypothèses de la convergence presque sûre et d’en présenter une preuve simplifiée. Dans le second chapitre, nous poursuivons l’étude de cet algorithme en nous intéressant cette fois à sa vitesse de convergence. Plus exactement, nous considérons une version moyenne mobile de cet algorithme et démontrons un théorème centrale limite pour cette variante. Le troisième chapitre est consacré à deux applications de ces algorithmes à la finance : le premier exemple présente une méthode de calibration de la corrélation pour les modèles de marchés multidimensionnels alors que le second exemple poursuit les travaux de en améliorant ses résultats. La seconde partie de cette thèse s’intéresse à l’évaluation des options parisiennes en s’appuyant sur les travaux de Chesney, Jeanblanc-Picqué, and Yor. La méthode d’évaluation se base sur l’obtention de formules fermées pour les transformées de Laplace des prix par rapport à la maturité. Nous établissons ces formules pour les options parisiennes simple et double barrières. Nous étudions ensuite une méthode d’inversion numérique de ces transformées. Nous établissons un résultat sur la précision de cette méthode numérique tout à fait performante. A cette occasion, nous démontrons également des résultats liés à la régularité des prix et l’existence d’une densité par rapport à la mesure de Lebesgues pour les temps parisiens.