Les techniques d'optimisation de forme pour résoudre le problème inverse de la tomographie d'impédance électrique

Shape optimization techniques for inverse problem of electrical impedance tomography

• Auteur / Autrice : Lekbir Afraites
• Direction : Mohammed El Djalil Kateb, Marc Dambrine
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Technologies de l'information et des systèmes
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Compiègne

Mots clés

Mots clés contrôlés

Éléments-frontières, Méthode des

Inclusions différentielles

Algorithmes optimaux

Optimisation mathématique

Équations intégrales

Équations fonctionnelles

Applications conformes

Problème inverse de diffusion

Problèmes inverses

Impédance électrique

Tomographie (mathématiques)

Mots clés libres

Optimisation de forme

Dérivée de forme d'ordre 1

Dérivée de forme d'ordre 2

Problème inverse de conductivités

Stabilité de Hessienne

Fonctionnelle de Kohn-Vogelius

Résumé

Le but de cette thèse est l'étude d'un problème inverse en tomographie, il s'agit de l'identification d'une inclusion située à l'intérieur d'un domaine de conductivités différentes à partir d'une paire de mesures frontières. Nous résolvons le problème du point de vu de l'optimisation de forme. Nous considérons deux fonctionnelles coûts, la première est de type classique de moindres carrés, quant à la deuxième, il s'agit de minimiser l'écart énergétique entre la solution d'un problème de Dirichlet et un problème de Neumann (fonctionnelle coût de type Kohn-Vogelius). Afin de résoudre numériquement le problème d'optimisation, nous prouvons l'existence et calculons les gradients des deux fonctionnelles coûts en introduisant un problème adjoint pour la méthode de moindres carrés. Nous montrons que le gradient de la fonctionnelle coût de Kohn-Vogelius dans une direction donnée dépend uniquement de la solution d'état et non pas de ses dérivées. Concernant la procédure d'optimisation, nous utilisons la méthode des équations intégrales frontières pour la résolution du problème direct et la méthode de Quasi-Newton "BFGS" pour la minimisation. Par ailleurs, pour analyser la stabilité du problème, nous étudions la dérivée seconde d'état et nous calculons la Hessienne de forme associée aux fonctionnelles coûts considérées. Nous prouvons que l'opérateur de Riesz associé à la Hessienne est compact, ce qui nous permet de déduire que la forme quadratique associée aux dérivées secondes des fonctionnelles coûts n'est pas coercive. Comme conséquence de cette étude, nous montrons que le problème inverse est sévèrement mal posé et que les fonctionnelles coûts considérées sont plates. Le constat précédent nous a amené à introduire un paramètre de régularisation afin de rendre possible la résolution numérique.

The goal of this work is to study the inverse problem in tomography : it acts of the identification of an inclusion located inside a domain that have different conductivities based on the boundary measurements. We solve the problem by the shape optimization method. In fact, we proposed two identification’s methods : the first one consists of minimizing the cost functional of the Least Squares. The second method concerns the cost functional of the Kohn-Vogelius. For dealing with the problem numerically, we proved the existence and calculated the gradients of the two cost functionals. Then, we used the integral equations method to solve direct problems. Concerning the optimization’s procedure, we used the Quasi-Newton method "BFGS". In order to analyze the stability of the problem, we studied the second derivative of the state and we calculated the shape Hessian of the cost functional. Then, we proved that the Riesz operator associated to the Hessian is compact, consequently, the associated quadratic form of the second derivative of the cost functional is not coercive. To overcome this difficulty, we regularized the problem.