Représentations génériques des groupes linéaires : catégories de foncteurs en grassmaniennes, avec applications à la conjecture artinienne

Generic representations of linear groups : grassmannian functor categories with applications to the artinian conjecture

• Auteur / Autrice : Aurélien Djament
• Direction : Lionel Schwartz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Paris 13

Mots clés

Mots clés contrôlés

Krull, Anneaux de

Grassmann, Variétés de

Catégories (mathématiques)

Foncteurs, Théorie des

Résumé

Le but de ce travail est d'étudier la structure globale de la catégorie de foncteurs F entre espaces vectoriels sur F2, notamment la conjecture artinienne, qui équivaut au caractère localement, noethérien de cette catégorie. Nous démontrons que le produit tensoriel entre un foncteur fini et le foncteur projectif standard P82 associé à un espace vectoriel de dimension 2 est noethérien. Nous introduisons à cet effet d'autres catégories de foncteurs, nommées catégories de foncteurs en grassmaniennes. Elles permettent d'énoncer une forme très forte de la conjecture artinienne, décrivant la filtration de Krull de la catégorie F. Notre théorème de simplicité généralisé établit une version faible de cette conjecture. Il permet de démontrer le résultat précédent sur la structure de P2 F(avec F fini), que nous avons également obtenu par l'usage conjoint de foncteurs hom internes et de considérations issues de la théorie des représentations modulaires. Nous décrivons la riche structure algébrique des catégories de foncteurs en grassmaniennes, équivalentes à des catégories de comodules dans F. Notre théorème d'annulation cohomologique fondamental généralise un grand nombre de résultats antérieurs en cohomologie des foncteurs. Il permet également de généraliser une étape essentielle de la démonstration de Suslin de l'isomorphisme entre K-théorie stable et homologie de Mac Lane pour des systèmes de coefficients polynomiaux.