Stochastic control and numerical methods in financial mathematics

Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance mathématique

• Auteur / Autrice : Romuald Elie
• Direction : Nizar Touzi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Paris 9

Mots clés

Mots clés contrôlés

Méthode de Monte Carlo

Solutions de viscosité

Malliavin, Calcul de

Résumé

Nous présentons dans la 1ère partie une méthode non-paramétrique d'estimation des sensibilités de prix d'options par perturbation aléatoire du paramètre d'intérêt, simulations Monte Carlo et régression par noyaux. Pour une fonction irrégulière, l’estimateur converge plus vite que les estimateurs à différences finies, ce qui est vérifié numériquement. La 2ème partie propose un algorithme de résolution de systèmes découplés d’EDSPR avec sauts. L’erreur de discrétisation en temps est paramétrique. Et l’erreur statistique est contrôlée ; et nous présentons des exemples numérique sur systèmes couplés d'EDP semi-linéaires. La 3ème partie étudie le comportement d'un gestionnaire de fond, maximisant l'utilité intertemporelle de sa consommation, sous une contrainte drawdown. Nous obtenons sous forme explicite la stratégie optimale en horizon infini, et nous caractérisons la fonction valeur en horizon fini comme unique solution de viscosité de l'équation d'HJB correspondante.

The first part of this thesis is dedicated to the estimation of the sensitivities of option prices, by means of randomization of the parameter of interest, Monte Carlo simulations and Kernel regression techniques. For a discontinuous payoff function, the kernel estimators outperforms the classical finite differences theoretically and numerically. The second part of this dissertation deals with the numerical resolution of systems of decoupled FBSDEs with jumps. The discrete time scheme achieves the optimal parametric rate of convergence, the statistical error is controlled and we solve numerically systems of coupled semilinear parabolic PDE's. The third part of this thesis is concerned with the optimal consumption-investment problem under a drawdown constraint. We provide the explicit solution on an infinite time horizon, and interpret the value function in finite horizon as the unique viscosity solution of its corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation.