Coloration d'hypergraphes et clique-coloration

Colorings of hypergraphs and clique-coloring

• Auteur / Autrice : David Défossez
• Direction : Myriam Preissmann
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Informatique
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Grenoble 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Graphes parfaits

Hypergraphes

Mots clés libres

Clique-coloration

Coloration d'hypergraphes

Conjecture de Sterboul

Graphes sans diamant

Graphes sans taureau

Résumé

Le travail de cette thèse s'est porté sur certains problèmes de coloration d'hypergraphes, dont certains sont en lien avec les graphes parfaits. Dans un premier temps, la coloration des hypergraphes est abordée de manière générale, et nous y démontrons une conjecture de Sterboul (généralisant un précédent résultat de Fournier et Las Vergnas) affirmant que si un hypergraphe ne contient pas un type particulier de cycle impair, alors il est 2-coloriable. Par la suite nous étudions plus précisément le problème de clique-coloration : une clique maximale d'un graphe est un sous-graphe complet, maximal par inclusion. Le problème consiste à colorier les sommets du graphe de sorte que chaque clique maximale contienne aux moins deux sommets de couleurs distinctes. Le point de départ de cette thèse était de savoir s'il existe une constante k telle que tous les graphes parfaits sont k-clique-coloriables. Cette question n'est toujours pas résolue, bien qu'on ne connaisse aucun graphe sans trou impair qui n'est pas 3-clique-coloriable. Cependant, une telle constante existe dans de nombreux cas particuliers, dont certains (tels que les graphes sans diamant ou sans taureau) sont étudiés ici. La complexité du problème de clique-coloration est également abordée, en essayant de déterminer la la classe de complexité exacte selon les cas particuliers. Plusieurs résultats sont établis, concernant notamment la difficulté de décider si un graphe parfait est 2-clique-coloriable : ce problème est Sigma_2 P-complet, et est NP-complet pour les graphes parfaits sans K_4.

This work concerns several problems of colorings of hypergraphs, some of which are related to perfect graphs. We first look at the problem in a global way, and we prove a conjecture due to Sterboul (which generalizes a previous result of Fournier and Las Vergnas) which states that if a hypergraph does not contain a particular type of odd cycle, then it is 2-colorable. Then we study more precisely the problem of clique-coloring : a maximal clique of a graph is a complete subgraph, maximal by inclusion. The problem consists in assigning colors to the vertices of the graph such that every maximal clique contains at least two vertices with distinct colors. The work of this thesis was originally motivated by the following question : does there exists a constant k such that all perfect graphs are k-clique-colorable? This question is still unsolved, whereas we do not know any odd-hole-free graph that is not 3-clique-colorable. However such a constant exists in many subcases, some of which (such as diamond-free graphs or bull-free graphs) are studied in this thesis. We also look at the complexity of the problem of clique-coloring, and we try to determine the exact complexity class for every subcases. Several results are proved, especially concerning the complexity of deciding if a perfect graph is 2-clique-colorable: this problem is Sigma_2 P-complete, and is NP-complete for K_4-free perfect graphs.