Problèmes d'évolution en milieux aléatoires : théorèmes limites, schémas numériques et applications en optique

Evolution problems in random media : limits theorems, numerical schemes and applications in optics

• Auteur / Autrice : Renaud Marty
• Direction : Josselin Garnier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Probabilités
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lumière -- Propagation

Fibres optiques

Variables aléatoires

Mouvement brownien

Équations différentielles stochastiques

Schrödinger, Équation de

Théorèmes des limites (théorie des probabilités)

Mots clés libres

Théorèmes limites

Schémas numériques

Fibres optiques

Equations différentielles

Equation de Schrodinger

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique de quelques questions relatives à des problèmes d'évolution en milieux aléatoires. Dans une première partie, nous considérons une équation différentielle à coefficient aléatoire à variations rapides. Nous prouvons que la solution converge en loi vers la solution d'une équation différentielle stochastique dirigée par une mouvement brownien classique dans certain cas, vers la solution d'une équation différentielle stochastique dirigée par une mouvement brownien fractionnaire dans d'autres cas. Dans une deuxième partie nous étudions l'équation de Schrodinger en milieux aléatoires. Dans un premier temps nous étudions une équation de Schrodinger non-linéaire modélisant la propagation d'une impulsion lumineuse dans une fibre optique à coefficient de dispersion aléatoire. Dans un second temps, nous étudions un système d'équations de Schrodinger modélisant la propagation d'une impulsion lumineuse dans une fibre optique biréfringente.

In this thesis we study some mathematical questions on evolution problems in random media. In a first part we consider a differential equation with a random rapidly varying coefficient. We prove that the solution converge in distribution to the solution of a stochastic differential equation driven by a classical Brownian motion in some cases, by a fractional Brownian motion in other cases. In the second part we study different Schrodinger-type equations in random media. On the one hand, we study a nonlinear Schrodinger equation which models the propagation of a short pulse in an optical fiber with a randomly varying dispersion coefficient. In the other hand, we study two coupled random Schrodinger equations which model the propagation of a pulse in a randomly birefringent optical fiber.