Largeur du seuil dans les lois du Zéro-Un

• Auteur / Autrice : Raphaël Rossignol
• Direction : Bernard Ycart
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Paris 5

Mots clés

Mots clés contrôlés

Graphes aléatoires

Sobolev, Espaces de

Mathématiques

Probabilités

Résumé

Ce travail de thèse prolonge les développements récents, dû à Talagrand, Friedgut et Kalai de l'étude des conditions générales assurant l'existence d'un phénomène de seuil. Dans une première partie, nous apportons une contributions à l'unification du cadre théorique des phénomènes de seuil, d'une part en reliant roigoureusement le cadre originel des "fonctions seuils" introduit par Erdös et renyi, celui des travaux de Friedgut et Kalai et la concentration du temps d'atteint de la propriété qui suit le phénomène de seuil ; d'autre part en initiant une recherche sur la stabilité des phénomènes de seuil par trois opérations : l'union, l'intersection et le produit tensoriel. On obtient ainsi un moyen simple de construire des largeurs de seuil d'ordres variés. Dans une seconde partie, on optimise la majoration générale de la largeur d'une propriété croissante et symétrique, à l'aide de l'inégalité de Sobolev logarithmique sur l'hypercube discret.

This thesis further develops some recent results due to Talagrand , Friedgut and Kalai on the study of general conditions under which threshold phenomena occur. In a first part, we contribute to the unification of the general framework of the threshold phenomena, firstly by connecting the original setting of the "thresholds functions" due to Erdös and Renyi, the one of Friedgut and Kalai's work and the concentration of the hittig time of the property for which the threshold phenomenon holds ; secondly, by originating a research on the stability of the threshold phenomena under three kind of operations : union, intersection and tensor product. We obtain thus a simple way to construct threshold widths of various orders. In a second part, we optimize the general upper bound on the threshold width of a monotone symmetric property by using the logarithmic Sobolev inequality on the discrete cube.