Algorithmes numériques pour les matrices polynomiales avec applications en commande

Numerical algorithms for polynomial matrices with applications in control

• Auteur / Autrice : Juan Carlos Zúñiga Anaya
• Direction : Didier Henrion
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Systèmes automatiques
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Toulouse, INSA
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et d'Architecture des Systèmes (Toulouse1968-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Commande, Théorie de la

Algèbre linéaire

Toeplitz, Matrices de

Analyse numérique matricielle

Mots clés libres

Matrices polynomiales

Analyse numérique

Structure propre

Factorisation spectrale

Logiciels de CACSD

Résumé

Dans cette thèse nous développons de nouveaux algorithmes de calcul numérique pour les matrices polynomiales. Nous abordons le problème du calcul de la structure propre (rang, espace nul, structures finie et infinie) d'une matrice polynomiale et nous appliquons les résultats obtenus au calcul de la factorisation J-spectrale des matrices polynomiales. Nous présentons également quelques applications de ces algorithmes en théorie de la commande. Tous les nouveaux algorithmes décrits ici sont basés sur le calcul d'espaces nuls constants de matrices bloc Toeplitz associées à la matrice polynomiale analysée. Pour calculer ces espaces nuls nous utilisons des méthodes standard de l'algèbre linéaire numérique comme la décomposition en valeurs singulières ou la factorisation QR. Nous étudions aussi l'application de méthodes rapides comme la méthode généralisée de Schur pour les matrices structurées. Nous analysons les algorithmes présentés au niveau complexité algorithmique et stabilité numérique, et effectuons des comparaisons avec d'autres algorithmes existants dans la littérature.

In this thesis we develop new numerical algorithms for polynomial matrices. We tackle the problem of computing the eigenstructure (rank, null-space, finite and infinite structures) of a polynomial matrix and we apply the obtained results to the matrix polynomial J-spectral factorization problem. We also present some applications of these algorithms in control theory. All the new algorithms presented here are based on the computation of the constant null-spaces of block Toeplitz matrices associated to the analysed polynomial matrix. For computing these null-spaces we apply standard numerical linear algebra methods such as the singular value decomposition or the QR factorization. We also study the application of fast methods like the generalized Schur method for structured matrices. We analyze the presented algorithms in terms of algorithmic complexity and numerical stability, and we present some comparisons with others algorithms existing in the literature.