Some relations between algebraic properties of transformation groups and the geometry of spaces

Quelques relations entre propriétés algébriques des groupes de transformations et géométrie des espaces

• Auteur / Autrice : Fabio Zuddas
• Direction : Guiseppina D'Ambra, Sylvestre Gallot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2005
• Etablissement(s) : Grenoble 1 en cotutelle avec Università degli studi (Cagliari, Italie)

Résumé

On s'intéresse ici aux actions (discrètes, par isométries) d'un groupe Gamma sur un espace métrique mesuré X et à la manière dont ces actions écartent les points. Le lemme de Margulis classique conclut lorsque X est une variété simplement connexe de courbure strictement négative et bornée. Une version récente (due à G. Besson, G. Courtois et S. Gallot) conclut lorsque X est un espace métrique mesuré d'entropie bornée, mais est essentiellement limitée au cas où Gamma est un groupe fondamental d'une variété de courbure négative majorée et de rayon d'injectivité minoré. Nous montrons que ce dernier résultat (et ses applications géométriques) se généralise à une classe C plus vaste de groupes (qui contient les groupes hyperboliques selon Gromov, les produits libres et les produits amalgamés "malnormaux'') et aux quasi-actions par quasi-isométries (avec points fixes éventuels) de ces groupes sur un espace métrique mesuré d'entropie bornée. Nous montrons aussi que C est fermé pour une topologie naturelle. Nous appliquons ce résultat au cas où X est le graphe de Cayley d'un groupe G commensurable à un groupe Gamma, obtenant des résultats de finitude qui s'appliquent en particulier aux groupes hyperboliques selon Gromov et aux groupes fondamentaux de variétés de diamètre borné. Ces derniers résultats apportent un éclairage nouveau aux questions de l'existence d'un minorant universel de l'entropie pour l'ensemble des groupes G de ce type et de l'existence, pour chacun de ces groupes, d'un système générateur d'entropie algébrique minimale.

We are interested in (discrete and isometric) actions of a group Gamma on a measured metric space X and in estimating how these actions separate points. The classical Margulis lemma is a basic result in this subject when X is a simply connected manifold with negative and bounded curvature. A recent version (due to G. Besson, G. Courtois and S. Gallot) generalises this to the case where X is a measured metric space with bounded entropy, but it is essentially limited to the case where the group Gamma is the fundamental group of some manifold with bounded negative curvature and injectivity radius bounded from below. We show that the latter result (and its geometric corollaries) can be generalized to a larger class C of groups (containing word-hyperbolic groups, free products and malnormal amalgamated products) and to quasi-actions by quasi-isometries (with eventual fixed points) of such groups on a measured metric space of bounded entropy. Applying this result in the case where X is the Cayley graph of a group G which is commensurable to some group Gamma, we obtain finiteness results which apply in particular to word-hyperbolic groups and to fundamental groups of manifolds with bounded diameter. These results aim to understand the questions about the existence of some universal lower bound of the algebraic entropy (for the set of such groups G and about the existence, for any such group, of a generating set with minimal entropy.