Le Théorème d'Andreev sur polyèdres hyperboliques

par Roland K. W. Roeder

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de John H. Hubbard.


  • Résumé

    E. M. Andreev a publié en 1970 une classification des polyèdres hyperboliques compacts de dimension trois dont les angles dièdres sont non-obtus. Etant donné une description combinatoire d'un polyèdre C, le Théorème d'Andreev dit que les angles dièdres possibles sont exactement d'ecrits par cinq classes d'inégalités linéaires. Le Théorème d'Andreev démontre également que le polyèdre résultant est alors unique à isométrie hyperbolique près. D'une part, le Théorème de Andreev est évidemment un énoncé intéressant de la géométrie de l'espace hyperbolique en dimension 3; d'autre part c'est un outil essentiel dans la preuve du Théorème d'Hyperbolization de Thurston pour les variétés Haken de dimension 3. Il est d'ailleurs remarquable à quel point la démonstration d'Andreev rappelle (en plus simple) la démonstration de Thurston. La démonstration d'Andreev contient une erreur importante. Nous corrigeons ici cette erreur et nous fournissons aussi une nouvelle preuve lisible des autres parties de la preuve, car le papier d'Andreev a la réputation d'être ``illisible''. Nous fournissons aussi une classification des tétraèdres hyperboliques; c'est un cas particulier qui n'est pas couvert par le Théorème d'Andreev, et effectivement le résultat est assez différent, car dans ce cas l'ensemble des angles dièdres possibles n'est pas convexe, même dans le cas où ces angles sont non-obtus.

  • Titre traduit

    Andreev's theorem on hyperbolic polyhedra


  • Résumé

    In 1970, E. M. Andreev published a classification of all three dimensional compact hyperbolic polyhedra having non-obtuse dihedral angles. Given a combinatorial description of a polyhedron, C, Andreev's Theorem provides five classes of linear inequalities, depending on C, for the dihedral angles, which are necessary and sufficient conditions for the existence of a hyperbolic polyhedron realizing C with the assigned dihedral angles. Andreev's Theorem also shows that the resulting polyhedron is unique, up to hyperbolic isometry. Andreev's Theorem is both an interesting statement about the geometry of hyperbolic 3 dimensional space, as well as a fundamental tool used in the proof for Thurston's Hyperbolization Theorem for 3 dimensional Haken manifolds. It is also remarkable to what level the proof of Andreev's Theorem resembles (in a simpler way) the proof of Thurston. We correct a fundamental error in Andreev's proof of existence and also provide a readable new proof of the other parts of the proof of Andreev's Theorem, because Andreev's paper has the reputation of being ``unreadable''. We also provide a classification of hyperbolic tetrahedra which is a special case that is not covered by Andreev's Theorem, and effectively a different manner of result, because in this case the set of possible dihedral angles is non-convex, even in the case where these angles are non-obtuse.

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Informations

  • Détails : 66 p.
  • Annexes : Bibliogr. p. 66

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