Thèse soutenue

Etude mathématique et numérique de l'équation de Vlasov non linéaire sur des maillages non structurés de l'espace des phases
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Auteur / Autrice : Nicolas Besse
Direction : Eric Sonnendrücker
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance en 2003
Etablissement(s) : Université Louis Pasteur (Strasbourg) (1971-2008)

Résumé

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Ce travail est consacré à l'étude mathématique et numérique de l'équation de Vlasov sur des maillages non structurés de l'espace des phases. Dans une première partie on présente de nouvelles méthodes numériques de type semi-Lagrangien pour résoudre l'équation de Vlasov sur des maillages non structurés de l'espace des phases. L'équation de Vlasov mettant en jeu des phénomènes physiques multi-échelles on présente aussi des méthodes numériques adaptatives basées sur une analyse multi-résolution par ondelettes, conduisant à un raffinement adaptatif de maillages. L'apparition des supercalculateurs massivement parallèle permet de considérer ces méthodes en plusieurs dimensions dans l'espace des phases. Dans le but d'appliquer ces nouvelles méthodes aux domaines de la physique des plasmas et de la propagation des faisceaux de particules chargées on considère le système de Vlasov-Poisson à deux, trois et quatre dimensions dans l'espace des phases. Dans la deuxième partie on présente des preuves rigoureuses de la convergence de plusieurs schémas numériques pour le système de Vlasov-Poisson et des estimations a priori sur la vitesse de convergence des suites de solutions construites vers la solution du problème continu dans le cadre des solutions fortes et classiques. D'abord on démontre la convergence d'un schéma semi-Lagrangien sur un maillage non structuré de l'espace des phases avec des hypothèses de régularité minimales sur les données initiales. Lorsque les solutions classiques sont assez régulières, on prouve la convergence de plusieurs classes de schémas semi-Lagrangien d'ordre élevé selon que l'on envisage des reconstructions à partir de bases de polynômes de Lagrange symétriques, de B-splines et d'ondelettes. Enfin on montre la convergence d'un schéma semi-Lagrangien dans lequel on propage les gradients de la fonction de distribution afin d'obtenir une reconstruction d'ordre élevé et stable de la solution.